Номер 6, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в систему СИ:

Длины представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Решение:

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, который является основанием пирамиды. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности. Таким образом, расстояние от центра $O$ до любой вершины равно $a$. В данном случае $OA = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $SA$ — это боковое ребро пирамиды, $OA$ — радиус описанной окружности основания, $SO$ — высота пирамиды.

По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Теперь найдем расстояние от точки $S$ до прямой $BE$. Прямая $BE$ является одной из больших диагоналей правильного шестиугольника $ABCDEF$. Известно, что большие диагонали правильного шестиугольника проходят через его центр $O$. Таким образом, точка $O$ лежит на прямой $BE$.

Так как $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$, и прямая $BE$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $O$ (основание перпендикуляра $SO$), то $SO$ перпендикулярен $BE$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поскольку $SO \perp BE$ и точка $O$ лежит на $BE$, то $SO$ является искомым расстоянием.

Таким образом, расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно длине высоты $SO$.

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно $\sqrt{3}$.