Номер 20, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (z-координата увеличена на высоту $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Рассмотрим прямую $BA_1$. Возьмем на ней точку $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и найдем ее направляющий вектор $\vec{u} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Рассмотрим прямую $DE_1$. Возьмем на ней точку $D = (-1, 0, 0)$ и найдем ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Поскольку направляющие векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равны, прямые $BA_1$ и $DE_1$ параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Вычислим расстояние от точки $D$ до прямой $BA_1$. Прямая $BA_1$ проходит через точку $B$ и имеет направляющий вектор $\vec{u}$.

Расстояние $d$ от точки $D$ до прямой, проходящей через точку $B$ с направляющим вектором $\vec{u}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{BD} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

Найдем вектор $\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{BD} \times \vec{u}$:

$\vec{BD} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-3/2) \cdot 1 - 0 \cdot (1/2)) + \mathbf{k}((-3/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}/2, 3/2, 4\sqrt{3}/4) = (-\sqrt{3}/2, 3/2, \sqrt{3})$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{BD} \times \vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + (\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{u}$:

$|\vec{u}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$