Страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся методом координат.

1.Введение системы координат:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

2.Определение координат вершин:

Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

• Вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$.

• Вершина $B$ находится на расстоянии 1 от $A$ вдоль оси $Ox$, поэтому $B = (1,0,0)$.

• Вершина $C$ находится на расстоянии 1 от $B$ вдоль оси $Oy$ (или 1 от $A$ по $Ox$ и 1 от $A$ по $Oy$), поэтому $C = (1,1,0)$.

• Вершина $B_1$ находится на расстоянии 1 от $B$ вдоль оси $Oz$, поэтому $B_1 = (1,0,1)$.

3.Определение векторов для прямых:

• Прямая $AB$:

  Эта прямая проходит через точку $A(0,0,0)$.

  Направляющий вектор $\vec{d_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

  Возьмем точку $P_1 = A = (0,0,0)$ на прямой $AB$.

• Прямая $CB_1$:

  Эта прямая проходит через точки $C(1,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$.

  Направляющий вектор $\vec{d_2} = \vec{CB_1} = B_1 - C = (1-1, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$.

  Возьмем точку $P_2 = C = (1,1,0)$ на прямой $CB_1$.

4.Вычисление вектора $\vec{P_1P_2}$:

Вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой прямой:

$\vec{P_1P_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$.

5.Вычисление векторного произведения направляющих векторов $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2} = (1,0,0) \times (0,-1,1)$

$=
(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)),
(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1),
(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)
$

$= (0 - 0, 0 - 1, -1 - 0) = (0, -1, -1)$.

6.Вычисление модуля векторного произведения:

$||\vec{n}|| = ||\vec{d_1} \times \vec{d_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

7.Вычисление смешанного произведения $(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}))$:

$(\vec{P_1P_2} \cdot \vec{n}) = (1,1,0) \cdot (0,-1,-1)$

$= 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = 0 - 1 + 0 = -1$.

8.Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2}))|}{||\vec{d_1} \times \vec{d_2}||}$

Подставляем найденные значения:

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$.

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.

Так как куб единичный, длины всех его ребер равны 1.

Координаты необходимых вершин:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

Найдем направляющий вектор прямой $AB$. Вектор $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $DA_1$. Вектор $\vec{v} = \vec{DA_1} = A_1 - D = (0-0, 0-1, 1-0) = (0,-1,1)$.

Прямые $AB$ и $DA_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны (их направляющие векторы не коллинеарны) и не пересекаются.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как длину отрезка их общего перпендикуляра. Пусть $P_1$ — точка на прямой $AB$, а $P_2$ — точка на прямой $DA_1$. Вектор $\vec{P_1P_2}$ будет общим перпендикуляром, если он ортогонален направляющим векторам обеих прямых.

Параметрическое уравнение прямой $AB$: $P_1(t) = A + t\vec{u} = (0,0,0) + t(1,0,0) = (t,0,0)$.

Параметрическое уравнение прямой $DA_1$: $P_2(s) = D + s\vec{v} = (0,1,0) + s(0,-1,1) = (0, 1-s, s)$.

Вектор, соединяющий произвольные точки на этих прямых: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0-t, (1-s)-0, s-0) = (-t, 1-s, s)$.

Для того чтобы $\vec{P_1P_2}$ был общим перпендикуляром, он должен быть ортогонален $\vec{u}$ и $\vec{v}$:

1) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{u} = 0$

$(-t)(1) + (1-s)(0) + (s)(0) = 0$

$-t = 0 \implies t=0$.

Значит, точка $P_1$ на прямой $AB$ для кратчайшего расстояния - это $P_1(0,0,0)$, то есть вершина $A$.

2) $\vec{P_1P_2} \cdot \vec{v} = 0$

Подставим $t=0$ в $\vec{P_1P_2}$: $(0, 1-s, s)$.

$(0)(0) + (1-s)(-1) + (s)(1) = 0$

$-(1-s) + s = 0$

$-1 + s + s = 0$

$2s = 1 \implies s = \frac{1}{2}$.

Значит, точка $P_2$ на прямой $DA_1$ для кратчайшего расстояния - это $P_2(0, 1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Искомое расстояние $d$ равно длине отрезка $AP_2$ (вектора $\vec{AP_2}$):

$d = |\vec{AP_2}| = \sqrt{(0-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (\frac{1}{2}-0)^2}$

$d = \sqrt{0^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2}$

$d = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}}$

$d = \sqrt{\frac{2}{4}}$

$d = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DA_1$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

1. Установим прямоугольную декартову систему координат. Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат $D(0,0,0)$. Ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ направим вдоль положительных осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

$D(0,0,0)$

$A(1,0,0)$

$C(0,1,0)$

$B(1,1,0)$

$D_1(0,0,1)$

$A_1(1,0,1)$

$C_1(0,1,1)$

$B_1(1,1,1)$

2. Определим векторы направлений для прямых $BA_1$ и $DC_1$.

Для прямой $BA_1$ возьмем точки $B(1,1,0)$ и $A_1(1,0,1)$. Направляющий вектор: $\vec{u_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Для прямой $DC_1$ возьмем точки $D(0,0,0)$ и $C_1(0,1,1)$. Направляющий вектор: $\vec{u_2} = \vec{DC_1} = C_1 - D = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

3. Исследуем взаимное расположение прямых $BA_1$ и $DC_1$.

Направляющие векторы $\vec{u_1}=(0,-1,1)$ и $\vec{u_2}=(0,1,1)$ не коллинеарны, так как их компоненты не пропорциональны (например, $-1/1 \neq 1/1$). Следовательно, прямые $BA_1$ и $DC_1$ не параллельны.

Прямая $BA_1$ проходит через точки с $x$-координатой $1$. Прямая $DC_1$ проходит через точки с $x$-координатой $0$. Поскольку эти $x$-координаты различны, прямые лежат в параллельных плоскостях $x=1$ и $x=0$ соответственно. Следовательно, они не могут пересекаться, и являются скрещивающимися.

4. Найдем плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную другой.

Рассмотрим вектор $\vec{CD_1}$. Координаты точек $C(0,1,0)$ и $D_1(0,0,1)$.

Вектор $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Мы видим, что направляющий вектор прямой $BA_1$ равен $\vec{u_1} = (0, -1, 1)$, и направляющий вектор прямой $CD_1$ равен $\vec{CD_1} = (0, -1, 1)$. Это означает, что прямая $BA_1$ параллельна прямой $CD_1$ ($BA_1 || CD_1$).

Прямые $DC_1$ и $CD_1$ лежат в одной плоскости — плоскости грани $DCC_1D_1$ (задняя грань куба). Поскольку $BA_1$ параллельна $CD_1$, то прямая $BA_1$ параллельна плоскости $DCC_1D_1$.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BA_1$ до плоскости $DCC_1D_1$, которая содержит $DC_1$ и параллельна $BA_1$.

Плоскость $DCC_1D_1$ в выбранной системе координат (с $D$ в начале координат и ребрами по осям) является плоскостью $OyZ$, уравнение которой $x=0$.

Возьмем точку $B(1,1,0)$ с прямой $BA_1$.

Расстояние $h$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ определяется формулой: $h = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Для плоскости $x=0$, имеем $A=1, B=0, C=0, D=0$.

Для точки $B(1,1,0)$, имеем $x_0=1, y_0=1, z_0=0$.

Подставляем значения в формулу:

$h = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$

$h = \frac{|1|}{\sqrt{1}}$

$h = 1$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно $1$.

9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Дано:
Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$.
Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:
Данные величины являются безразмерными или представлены в условных единицах измерения. Для решения задачи не требуется дополнительный перевод в систему СИ, так как результат также будет выражен в тех же условных единицах.
Сторона основания $a = 1$ (усл. ед.).
Длина бокового ребра $l = 2$ (усл. ед.).

Найти:
Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Решение:
1. Основанием правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник $ABCDEF$.
2. Прямые $BC$ и $EF$ являются противоположными сторонами этого правильного шестиугольника.
3. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Следовательно, прямые $BC$ и $EF$ параллельны и лежат в одной плоскости (плоскости основания пирамиды).
4. Расстояние между двумя параллельными прямыми (сторонами $BC$ и $EF$) в правильном шестиугольнике равно расстоянию между противоположными сторонами шестиугольника.
5. Правильный шестиугольник со стороной $a$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников со стороной $a$, вершиной которых является центр шестиугольника.
6. Расстояние от центра шестиугольника до середины его стороны (апофема основания) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $a$. Высота равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h_a = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.
7. Расстояние между противоположными сторонами шестиугольника равно удвоенной апофеме основания, так как оно проходит через центр шестиугольника. Таким образом, искомое расстояние $d = 2 \cdot h_a = 2 \cdot a\frac{\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.
8. Подставляем значение стороны основания $a = 1$:
$d = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Информация о длине бокового ребра ($l = 2$) является избыточной для решения данной задачи, так как искомые прямые лежат в плоскости основания.

Ответ:
$\sqrt{3}$

10. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $AB$ и $B_1 C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $B_1 C_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1 C_1$ воспользуемся методом координат.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть плоскость основания $ABC$ лежит в плоскости $z=0$.

Поскольку призма правильная, основание $ABC$ является равносторонним треугольником. Расположим вершину $A$ в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Вершину $B$ расположим на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ равностороннего треугольника со стороной 1, ее координаты будут $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Так как все ребра призмы равны 1, высота призмы также равна 1.

Тогда координаты вершин верхнего основания $A_1 B_1 C_1$ будут: $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Определим прямую $AB$:

Точка на прямой $AB$: $P_1 = A = (0,0,0)$.

Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Определим прямую $B_1 C_1$:

Точка на прямой $B_1 C_1$: $P_2 = B_1 = (1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $B_1 C_1$: $\vec{v} = \vec{B_1 C_1} = C_1 - B_1 = (1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 1-1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вектор, соединяющий точки $P_1$ и $P_2$: $\vec{P_1 P_2} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1 P_2}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Вычислим векторное произведение $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(1 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{w} = (0, 0, \sqrt{3}/2)$.

Вычислим модуль вектора $\vec{w}$:

$|\vec{w}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_1 P_2}) \cdot \vec{w}$:

$(\vec{P_1 P_2}) \cdot \vec{w} = (1,0,1) \cdot (0,0,\sqrt{3}/2) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Геометрическое пояснение:

Направляющие векторы обеих прямых $AB$ ($ (1,0,0) $) и $B_1 C_1$ ($ (-1/2, \sqrt{3}/2, 0) $) имеют нулевую $z$-координату. Это означает, что обе прямые лежат в плоскостях, параллельных плоскости $z=0$ (плоскости основания).

Прямая $AB$ лежит в плоскости $z=0$. Прямая $B_1 C_1$ лежит в плоскости $z=1$.

Вектор $\vec{w} = (0,0,\sqrt{3}/2)$ является вектором нормали к плоскости, содержащей $B_1 C_1$ и параллельной $AB$. Он также совпадает с направлением общего перпендикуляра к этим прямым, поскольку он перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых. Вектор $\vec{w}$ параллелен оси $Oz$.

Следовательно, общий перпендикуляр к прямым $AB$ и $B_1 C_1$ параллелен оси $Oz$.

Длина такого перпендикуляра между плоскостями $z=0$ и $z=1$ равна разнице их $z$-координат, то есть $1-0=1$.

В данном случае, отрезок $BB_1$ соединяет точки $B(1,0,0)$ на прямой $AB$ и $B_1(1,0,1)$ на прямой $B_1C_1$. Этот отрезок перпендикулярен обоим прямым и, следовательно, является общим перпендикуляром. Его длина равна 1.

Ответ: 1

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Зададим систему координат. Пусть начало координат $A$ находится в точке $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые грани — прямоугольниками. Все ребра равны 1, это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Разместим вершину $A$ в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Разместим вершину $B$ на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ (образующей равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 1) координаты будут:

$x_C = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1/2$

$y_C = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$

Таким образом, $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$A_1=(0,0,1)$

$B_1=(1,0,1)$

$C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь определим направляющие векторы для прямых $BC$ и $A_1C_1$:

Направляющий вектор для прямой $BC$: $\vec{d_1} = \vec{BC} = C - B = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Направляющий вектор для прямой $A_1C_1$: $\vec{d_2} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 1) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$

Выберем точку $P_1$ на прямой $BC$ как $B=(1,0,0)$.

Выберем точку $P_2$ на прямой $A_1C_1$ как $A_1=(0,0,1)$.

Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - 0 \cdot (\sqrt{3}/2)) - \vec{j}((-1/2) \cdot 0 - 0 \cdot (1/2)) + \vec{k}((-1/2) \cdot (\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$= \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4) = (0, 0, -\sqrt{3}/2)$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})$:

$(-1, 0, 1) \cdot (0, 0, -\sqrt{3}/2) = (-1)(0) + (0)(0) + (1)(-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$.

Модуль смешанного произведения: $|-\sqrt{3}/2| = \sqrt{3}/2$.

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |(0, 0, -\sqrt{3}/2)| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Ответ: 1

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $C_1D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Перевод в систему СИ:

Единицы длины не указаны, поэтому будем использовать безразмерную величину 1. Результат также будет безразмерным.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $C_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и длина ее ребра (как бокового, так и ребра основания) равна $1$, то радиус описанной окружности вокруг шестиугольника основания также равен $1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания ($z=1$, так как высота призмы равна $1$):
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем направляющий вектор прямой $BC$, $\vec{v_1}$:

$\vec{v_1} = \vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $C_1D_1$, $\vec{v_2}$:

$\vec{v_2} = \vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Выберем точки на каждой прямой: $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $P_2 = C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор, соединяющий эти точки: $P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется формулой:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2)) = (0, 0, \sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2$.

Вычислим скалярное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, 0, 1) \cdot (0, 0, \sqrt{3}/2) = (-1)(0) + (0)(0) + (1)(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}/2$.

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Геометрическая интерпретация: Векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ направлено вдоль оси $Z$, что означает, что кратчайшее расстояние между прямыми параллельно оси $Z$. Это возможно, если точки, образующие это кратчайшее расстояние, имеют одинаковые $x$ и $y$ координаты. Проекция прямой $BC$ на плоскость $XY$ — это прямая $y = \sqrt{3}/2$. Проекция прямой $C_1D_1$ на плоскость $XY$ — это прямая, проходящая через точки $C_1_{proj}(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $D_1_{proj}(-1, 0)$. Уравнение этой прямой: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - (-1)}(x - (-1))$, то есть $y = \sqrt{3}(x+1)$. Точка пересечения этих двух проекций: $\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}(x+1) \Rightarrow 1/2 = x+1 \Rightarrow x = -1/2$. Таким образом, точка пересечения проекций $(-1/2, \sqrt{3}/2)$. Эта точка соответствует координатам $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $BC$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ на прямой $C_1D_1$. Отрезок $CC_1$ является общим перпендикуляром к обеим прямым. Его длина равна разнице по координате $z$, то есть $1 - 0 = 1$.

Ответ:

1

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Таким образом, длина стороны основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $D_1E_1$.

Решение:

Прямые $BC$ и $D_1E_1$ являются скрещивающимися прямыми, так как они лежат в разных параллельных плоскостях (плоскости оснований призмы) и не параллельны друг другу.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$. Поскольку все ребра равны 1, высота призмы $h=1$, и длина стороны основания правильного шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (для правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат, с вершиной $A$ на оси $Ox$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z$-координата будет равна 1 (так как высота призмы равна 1):

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь определим прямые $BC$ и $D_1E_1$ в координатах:

Прямая $BC$ проходит через точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор направления прямой $BC$: $\vec{v_{BC}} = C - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (-1, 0, 0)$.

Прямая $D_1E_1$ проходит через точки $D_1(-1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор направления прямой $D_1E_1$: $\vec{v_{D_1E_1}} = E_1 - D_1 = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$) и $L_2$ (проходящей через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$) можно найти по формуле:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Пусть $P_1 = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $\vec{v_1} = \vec{v_{BC}} = (-1, 0, 0)$.

Пусть $P_2 = D_1 = (-1, 0, 1)$ и $\vec{v_2} = \vec{v_{D_1E_1}} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

1. Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1$:

$\vec{P_1P_2} = (-1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

2. Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}((-1) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$= (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

3. Найдем модуль векторного произведения $\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|$:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Найдем смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1) \cdot (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}) = (-\frac{3}{2}) \cdot 0 + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 0 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Подставим найденные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 1$.

Геометрическое подтверждение:

Вектор $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ параллелен оси $Oz$. Это означает, что общий перпендикуляр к прямым $BC$ и $D_1E_1$ является вертикальной линией (параллельной оси $Oz$). Расстояние между скрещивающимися прямыми в этом случае равно длине этого перпендикуляра.

Поскольку общий перпендикуляр вертикален, он соединяет точки, которые имеют одинаковые $x$ и $y$ координаты, но различаются по $z$-координате.

Проекция прямой $BC$ на плоскость $z=0$ (плоскость нижнего основания) - это прямая $BC$ с уравнением $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проекция прямой $D_1E_1$ на плоскость $z=0$ - это прямая $DE$. Прямая $DE$ проходит через точки $D(-1,0,0)$ и $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Уравнение прямой $DE$: $y - 0 = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)}(x - (-1))$

$y = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}(x+1) \Rightarrow y = -\sqrt{3}(x+1)$.

Найдем точку пересечения проекций: $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $y = -\sqrt{3}(x+1)$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}(x+1)$

$\frac{1}{2} = -(x+1)$

$x = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, точка пересечения проекций на плоскость $xy$ имеет координаты $(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Точка на прямой $BC$ (в плоскости $z=0$) с этими $x, y$ координатами: $P_{BC} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точка на прямой $D_1E_1$ (в плоскости $z=1$) с этими $x, y$ координатами: $P_{D_1E_1} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Эти две точки лежат на общем перпендикуляре к прямым $BC$ и $D_1E_1$. Расстояние между ними равно длине этого перпендикуляра:

$d = \sqrt{(-\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Результат совпадает.

Ответ: 1

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $E_1F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $1$.

Из этого следует, что длина стороны основания $a = 1$. Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $E_1F_1$.

Решение:

Прямая $BC$ является стороной нижнего основания призмы, а прямая $E_1F_1$ является стороной верхнего основания призмы.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $BC$ параллельна стороне $EF$ (то есть $BC \parallel EF$).

В призме соответствующие ребра оснований параллельны друг другу. Следовательно, ребро $E_1F_1$ в верхнем основании параллельно ребру $EF$ в нижнем основании (то есть $E_1F_1 \parallel EF$).

Из того, что $BC \parallel EF$ и $E_1F_1 \parallel EF$, следует, что прямые $BC$ и $E_1F_1$ параллельны между собой. Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине общего перпендикуляра, проведенного между ними.

Для нахождения этого расстояния используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку все ребра призмы равны $1$, длина стороны шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$, радиус описанной окружности равен $a=1$. Расстояние от центра шестиугольника до середины стороны (апофема) равно $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для $a=1$, $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Разместим вершины нижнего основания так, чтобы сторона $BC$ была параллельна оси $x$. Тогда координаты вершин будут: $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Прямая $BC$ лежит в плоскости $z=0$ и имеет уравнение $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку высота призмы $h=1$, верхнее основание находится в плоскости $z=1$. Координаты вершин верхнего основания: $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ $F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Прямая $E_1F_1$ лежит в плоскости $z=1$ и имеет уравнение $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Обе прямые $BC$ и $E_1F_1$ параллельны оси $x$. Для нахождения расстояния между ними достаточно взять произвольную точку на одной прямой и найти расстояние до другой. Однако, поскольку они параллельны оси $x$ и лежат в разных плоскостях $y = \text{const}$ и $z = \text{const}$, мы можем выбрать две точки с одинаковыми $x$-координатами на каждой прямой, и расстояние между ними будет кратчайшим.

Возьмем точку $P_1$ на прямой $BC$: $P_1 = (0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Возьмем точку $P_2$ на прямой $E_1F_1$: $P_2 = (0, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Расстояние между точками $P_1(x_1, y_1, z_1)$ и $P_2(x_2, y_2, z_2)$ в пространстве вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

Подставим координаты $P_1$ и $P_2$: $d = \sqrt{(0-0)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (1-0)^2}$ $d = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}$ $d = \sqrt{0 + 3 + 1}$ $d = \sqrt{4}$ $d = 2$

Этот отрезок, соединяющий $P_1$ и $P_2$, является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $E_1F_1$, поскольку он расположен в плоскости $x=0$ (плоскость $yz$), которая перпендикулярна обеим прямым (они параллельны оси $x$).

Ответ: $2$

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1F_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$.
Требуется найти расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$.

Перевод всех данных в систему СИ:
Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины). Поскольку конкретные единицы не указаны, перевод в метры не требуется.

Найти:
Расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$.

Решение:
Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат $O=(0,0,0)$ находится в центре нижнего основания $ABCDEF$.
Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен длине его стороны, то есть $R=1$. Высота призмы также равна $H=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$):
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы направлений и точки для каждой прямой.

Для прямой $BC$:
Возьмем точку $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Вектор направления $\vec{v_1} = \vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0) = (-1, 0, 0)$.

Для прямой $AF_1$:
Возьмем точку $P_2 = A = (1, 0, 0)$.
Вектор направления $\vec{v_2} = \vec{AF_1} = F_1 - A = (1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными как $L_1 = P_1 + t\vec{v_1}$ и $L_2 = P_2 + s\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

1. Найдем вектор $P_2 - P_1$:
$P_2 - P_1 = A - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

2. Найдем векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$
$= \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/2)$
$= (0, 1, \sqrt{3}/2)$.

3. Найдем скалярное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:
$(1/2, -\sqrt{3}/2, 0) \cdot (0, 1, \sqrt{3}/2) = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(1) + (0)(\sqrt{3}/2) = 0 - \sqrt{3}/2 + 0 = -\sqrt{3}/2$.

4. Найдем модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:
$||(0, 1, \sqrt{3}/2)|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 3/4} = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

5. Вычислим расстояние $d$:
$d = \frac{|-\sqrt{3}/2|}{\sqrt{7}/2} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{7}/2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ:
Расстояние между прямыми $BC$ и $AF_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1B_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер: $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина всех рёбер: $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1B_1$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. По условию, все её рёбра равны 1. Это означает, что длина стороны основания (шестиугольника) $AB = BC = \dots = 1$, и высота призмы (длина боковых рёбер) $AA_1 = BB_1 = \dots = 1$.

Необходимо найти расстояние между скрещивающимися прямыми $BC$ и $A_1B_1$.

Прямая $BC$ является ребром нижнего основания $ABCDEF$.

Прямая $A_1B_1$ является ребром верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

В правильной призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Так как прямая $BC$ лежит в плоскости $ABCDEF$, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $BC$.

Аналогично, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Так как прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, то ребро $BB_1$ перпендикулярно прямой $A_1B_1$.

Таким образом, отрезок $BB_1$ является общим перпендикуляром к прямым $BC$ и $A_1B_1$, поскольку он соединяет точку $B$ на прямой $BC$ с точкой $B_1$ на прямой $A_1B_1$ и перпендикулярен обеим прямым.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. В данном случае, это длина ребра $BB_1$.

По условию задачи, все рёбра призмы равны 1. Следовательно, длина ребра $BB_1 = 1$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1B_1$ равно $1 \text{ м}$.

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$.

Решение:

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$.

Длина стороны шестиугольника $a = 1$, так как все ребра призмы равны 1.

Прямые $BC$ и $EF$ являются сторонами этого правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны.

Таким образом, прямые $BC$ и $EF$ параллельны и лежат в одной плоскости (плоскости основания призмы).

Расстояние между двумя параллельными прямыми в плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую.

В правильном шестиугольнике расстояние между двумя параллельными сторонами равно удвоенной апофеме шестиугольника.

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$, поэтому апофема $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние $d$ между параллельными сторонами $BC$ и $EF$ будет равно $2r$.

$d = 2 \cdot r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC$ и $EF$ равно $\sqrt{3}$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ (условная единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами правильной шестиугольной призмы. В правильной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и параллельны друг другу. Следовательно, прямые $BB_1$ и $DD_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка, перпендикулярного обеим прямым, соединяющего их. В данном случае, так как прямые $BB_1$ и $DD_1$ перпендикулярны плоскости основания ABCDEF, расстояние между ними будет равно расстоянию между точками B и D в плоскости основания.

Основанием призмы является правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a = 1$. Необходимо найти длину диагонали BD.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF. Его можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников, сходящихся в центре шестиугольника. Длина стороны каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника, то есть $a=1$.

Угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 4 \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, угол $\angle BCD = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике стороны BC и CD равны стороне шестиугольника, то есть $BC = CD = a = 1$. Угол между ними $\angle BCD = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны BD в треугольнике BCD:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

Подставим известные значения:

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, получим:

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BD^2 = 2 + 1$

$BD^2 = 3$

$BD = \sqrt{3}$

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $DD_1$ равно длине отрезка BD, который равен $\sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BB_1$ и $EE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер призмы равна $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BB_1$ и $EE_1$.

Решение:

Прямые $BB_1$ и $EE_1$ являются боковыми ребрами правильной шестиугольной призмы. В правильной призме все боковые ребра параллельны друг другу и перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, прямые $BB_1$ и $EE_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине любого отрезка, перпендикулярного обеим прямым и соединяющего их. Поскольку обе прямые $BB_1$ и $EE_1$ перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$, расстояние между ними равно расстоянию между их точками-основаниями в этой плоскости, то есть между точками $B$ и $E$.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина его стороны равна длине ребра призмы, то есть $a = 1$.

В правильном шестиугольнике расстояние между противоположными вершинами (например, $A$ и $D$, $B$ и $E$, $C$ и $F$) равно удвоенной длине стороны шестиугольника.

Следовательно, расстояние между вершинами $B$ и $E$ равно $BE = 2a$.

Подставляя значение $a = 1$, получаем: $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, расстояние между прямыми $BB_1$ и $EE_1$ равно 2.

Ответ:

2

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (z-координата увеличена на высоту $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Рассмотрим прямую $BA_1$. Возьмем на ней точку $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и найдем ее направляющий вектор $\vec{u} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Рассмотрим прямую $DE_1$. Возьмем на ней точку $D = (-1, 0, 0)$ и найдем ее направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Поскольку направляющие векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равны, прямые $BA_1$ и $DE_1$ параллельны.

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Вычислим расстояние от точки $D$ до прямой $BA_1$. Прямая $BA_1$ проходит через точку $B$ и имеет направляющий вектор $\vec{u}$.

Расстояние $d$ от точки $D$ до прямой, проходящей через точку $B$ с направляющим вектором $\vec{u}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{BD} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$

Найдем вектор $\vec{BD} = D - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{BD} \times \vec{u}$:

$\vec{BD} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}((-3/2) \cdot 1 - 0 \cdot (1/2)) + \mathbf{k}((-3/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-3/2) + \mathbf{k}(3\sqrt{3}/4 + \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}/2, 3/2, 4\sqrt{3}/4) = (-\sqrt{3}/2, 3/2, \sqrt{3})$

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{BD} \times \vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + (\sqrt{3})^2}$

$= \sqrt{3/4 + 9/4 + 3} = \sqrt{12/4 + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{u}$:

$|\vec{u}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь вычислим расстояние $d$:

$d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер призмы равна $1$. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы (длина бокового ребра) $h = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому значения остаются без изменений: $a = 1$ (условная единица длины), $h = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Решение:

Для определения расстояния между прямыми воспользуемся методом координат. Разместим начало координат $O(0,0,0)$ в центре нижнего основания $ABCDEF$. Для удобства расчетов, расположим вершины шестиугольника следующим образом: ось $x$ проходит через середины сторон $AB$ и $DE$, а ось $y$ проходит через вершины $C$ и $F$. При такой ориентации, координаты вершин основания с длиной стороны $a=1$ будут:

• $A=(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $B=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $C=(-1, 0, 0)$
• $D=(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $E=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $F=(1, 0, 0)$

Однако, более стандартным подходом является размещение вершины $A$ на оси $x$. Давайте переориентируем оси так, чтобы $F$ был на положительной части оси $x$, это упростит вычисления для $F$ и $E$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$, при условии, что вершина $F$ находится на положительной части оси $x$:

• $F=(1, 0, 0)$
• $E=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D=(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C=(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $B=(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $A=(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Так как высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1, B_1, \dots, F_1$ будут иметь $z$-координату, равную $1$.

Необходимые точки:

• $B=(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $C_1=(-1, 0, 1)$
• $F=(1, 0, 0)$
• $E_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Определим векторы направлений для прямых $BC_1$ и $FE_1$.

Для прямой $BC_1$: вектор $\vec{u} = \vec{BC_1} = C_1 - B = (-1 - (-1/2), 0 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Для прямой $FE_1$: вектор $\vec{v} = \vec{FE_1} = E_1 - F = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Поскольку векторы направлений $\vec{u}$ и $\vec{v}$ совпадают, прямые $BC_1$ и $FE_1$ параллельны.

Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до другой прямой. Мы можем выбрать точку $F$ на прямой $FE_1$ и найти расстояние от $F$ до прямой $BC_1$. Однако, проще найти вектор, соединяющий точки на обеих прямых, который перпендикулярен направляющему вектору.

Рассмотрим вектор $\vec{FB}$, соединяющий точку $F$ на прямой $FE_1$ и точку $B$ на прямой $BC_1$:

$\vec{FB} = B - F = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Проверим, перпендикулярен ли вектор $\vec{FB}$ направляющему вектору $\vec{u}$ (или $\vec{v}$):

$\vec{FB} \cdot \vec{u} = (-3/2) \cdot (-1/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (0) \cdot (1)$

$= 3/4 - 3/4 + 0 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, вектор $\vec{FB}$ перпендикулярен направляющему вектору $\vec{u}$. Это означает, что длина вектора $\vec{FB}$ является расстоянием между параллельными прямыми $BC_1$ и $FE_1$.

Расстояние $d = |\vec{FB}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2}$

$d = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $BC_1$ и $FE_1$ составляет $\sqrt{3}$.