Номер 11, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $A_1C_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Зададим систему координат. Пусть начало координат $A$ находится в точке $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, а боковые грани — прямоугольниками. Все ребра равны 1, это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Разместим вершину $A$ в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Разместим вершину $B$ на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Для вершины $C$ (образующей равносторонний треугольник $ABC$ со стороной 1) координаты будут:

$x_C = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1/2$

$y_C = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2$

Таким образом, $C=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут иметь $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$A_1=(0,0,1)$

$B_1=(1,0,1)$

$C_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь определим направляющие векторы для прямых $BC$ и $A_1C_1$:

Направляющий вектор для прямой $BC$: $\vec{d_1} = \vec{BC} = C - B = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Направляющий вектор для прямой $A_1C_1$: $\vec{d_2} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1/2 - 0, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 1) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, проходящими через точки $P_1$ и $P_2$ с направляющими векторами $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})|}{|\vec{d_1} \times \vec{d_2}|}$

Выберем точку $P_1$ на прямой $BC$ как $B=(1,0,0)$.

Выберем точку $P_2$ на прямой $A_1C_1$ как $A_1=(0,0,1)$.

Найдем вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((\sqrt{3}/2) \cdot 0 - 0 \cdot (\sqrt{3}/2)) - \vec{j}((-1/2) \cdot 0 - 0 \cdot (1/2)) + \vec{k}((-1/2) \cdot (\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2) \cdot (1/2))$

$= \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4) = (0, 0, -\sqrt{3}/2)$.

Вычислим смешанное произведение $(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{d_1} \times \vec{d_2})$:

$(-1, 0, 1) \cdot (0, 0, -\sqrt{3}/2) = (-1)(0) + (0)(0) + (1)(-\sqrt{3}/2) = -\sqrt{3}/2$.

Модуль смешанного произведения: $|-\sqrt{3}/2| = \sqrt{3}/2$.

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |(0, 0, -\sqrt{3}/2)| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Ответ: 1