Номер 12, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми $BC$ и $C_1D_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Перевод в систему СИ:

Единицы длины не указаны, поэтому будем использовать безразмерную величину 1. Результат также будет безразмерным.

Найти:

Расстояние между прямыми $BC$ и $C_1D_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная и длина ее ребра (как бокового, так и ребра основания) равна $1$, то радиус описанной окружности вокруг шестиугольника основания также равен $1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):
$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания ($z=1$, так как высота призмы равна $1$):
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем направляющий вектор прямой $BC$, $\vec{v_1}$:

$\vec{v_1} = \vec{BC} = C - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $C_1D_1$, $\vec{v_2}$:

$\vec{v_2} = \vec{C_1D_1} = D_1 - C_1 = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 1) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Выберем точки на каждой прямой: $P_1 = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $P_2 = C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Вектор, соединяющий эти точки: $P_2 - P_1 = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется формулой:

$d = \frac{|(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2)) = (0, 0, \sqrt{3}/2)$.

Найдем модуль векторного произведения:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{3/4} = \sqrt{3}/2$.

Вычислим скалярное произведение $(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(P_2 - P_1) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1, 0, 1) \cdot (0, 0, \sqrt{3}/2) = (-1)(0) + (0)(0) + (1)(\sqrt{3}/2) = \sqrt{3}/2$.

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|\sqrt{3}/2|}{\sqrt{3}/2} = 1$.

Геометрическая интерпретация: Векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ направлено вдоль оси $Z$, что означает, что кратчайшее расстояние между прямыми параллельно оси $Z$. Это возможно, если точки, образующие это кратчайшее расстояние, имеют одинаковые $x$ и $y$ координаты. Проекция прямой $BC$ на плоскость $XY$ — это прямая $y = \sqrt{3}/2$. Проекция прямой $C_1D_1$ на плоскость $XY$ — это прямая, проходящая через точки $C_1_{proj}(-1/2, \sqrt{3}/2)$ и $D_1_{proj}(-1, 0)$. Уравнение этой прямой: $y - 0 = \frac{\sqrt{3}/2 - 0}{-1/2 - (-1)}(x - (-1))$, то есть $y = \sqrt{3}(x+1)$. Точка пересечения этих двух проекций: $\sqrt{3}/2 = \sqrt{3}(x+1) \Rightarrow 1/2 = x+1 \Rightarrow x = -1/2$. Таким образом, точка пересечения проекций $(-1/2, \sqrt{3}/2)$. Эта точка соответствует координатам $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ на прямой $BC$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ на прямой $C_1D_1$. Отрезок $CC_1$ является общим перпендикуляром к обеим прямым. Его длина равна разнице по координате $z$, то есть $1 - 0 = 1$.

Ответ:

1