Номер 8, страница 161 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

1. Установим прямоугольную декартову систему координат. Пусть вершина $D$ куба находится в начале координат $D(0,0,0)$. Ребра $DA$, $DC$ и $DD_1$ направим вдоль положительных осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты вершин куба:

$D(0,0,0)$

$A(1,0,0)$

$C(0,1,0)$

$B(1,1,0)$

$D_1(0,0,1)$

$A_1(1,0,1)$

$C_1(0,1,1)$

$B_1(1,1,1)$

2. Определим векторы направлений для прямых $BA_1$ и $DC_1$.

Для прямой $BA_1$ возьмем точки $B(1,1,0)$ и $A_1(1,0,1)$. Направляющий вектор: $\vec{u_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1-1, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Для прямой $DC_1$ возьмем точки $D(0,0,0)$ и $C_1(0,1,1)$. Направляющий вектор: $\vec{u_2} = \vec{DC_1} = C_1 - D = (0-0, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$.

3. Исследуем взаимное расположение прямых $BA_1$ и $DC_1$.

Направляющие векторы $\vec{u_1}=(0,-1,1)$ и $\vec{u_2}=(0,1,1)$ не коллинеарны, так как их компоненты не пропорциональны (например, $-1/1 \neq 1/1$). Следовательно, прямые $BA_1$ и $DC_1$ не параллельны.

Прямая $BA_1$ проходит через точки с $x$-координатой $1$. Прямая $DC_1$ проходит через точки с $x$-координатой $0$. Поскольку эти $x$-координаты различны, прямые лежат в параллельных плоскостях $x=1$ и $x=0$ соответственно. Следовательно, они не могут пересекаться, и являются скрещивающимися.

4. Найдем плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную другой.

Рассмотрим вектор $\vec{CD_1}$. Координаты точек $C(0,1,0)$ и $D_1(0,0,1)$.

Вектор $\vec{CD_1} = D_1 - C = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$.

Мы видим, что направляющий вектор прямой $BA_1$ равен $\vec{u_1} = (0, -1, 1)$, и направляющий вектор прямой $CD_1$ равен $\vec{CD_1} = (0, -1, 1)$. Это означает, что прямая $BA_1$ параллельна прямой $CD_1$ ($BA_1 || CD_1$).

Прямые $DC_1$ и $CD_1$ лежат в одной плоскости — плоскости грани $DCC_1D_1$ (задняя грань куба). Поскольку $BA_1$ параллельна $CD_1$, то прямая $BA_1$ параллельна плоскости $DCC_1D_1$.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно расстоянию от любой точки на прямой $BA_1$ до плоскости $DCC_1D_1$, которая содержит $DC_1$ и параллельна $BA_1$.

Плоскость $DCC_1D_1$ в выбранной системе координат (с $D$ в начале координат и ребрами по осям) является плоскостью $OyZ$, уравнение которой $x=0$.

Возьмем точку $B(1,1,0)$ с прямой $BA_1$.

Расстояние $h$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ определяется формулой: $h = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Для плоскости $x=0$, имеем $A=1, B=0, C=0, D=0$.

Для точки $B(1,1,0)$, имеем $x_0=1, y_0=1, z_0=0$.

Подставляем значения в формулу:

$h = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}$

$h = \frac{|1|}{\sqrt{1}}$

$h = 1$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $DC_1$ равно $1$.