Номер 2, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$.

Решение

Прямая $AB$ является ребром основания куба. Прямая $DC_1$ является диагональю боковой грани $CDD_1C_1$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $AB$ и $DC_1$ необходимо найти расстояние от одной из прямых до плоскости, содержащей другую прямую и параллельной первой.

Заметим, что прямая $AB$ параллельна прямой $CD$, поскольку $ABCD$ — квадрат (грань куба). Прямая $CD$ лежит в плоскости боковой грани $CDD_1C_1$. Прямая $DC_1$ также лежит в этой плоскости.

Таким образом, плоскость $CDD_1C_1$ содержит прямую $DC_1$ и параллельна прямой $AB$ (поскольку $AB \parallel CD$, а $CD$ лежит в этой плоскости).

Расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB$ до плоскости $CDD_1C_1$. Возьмем точку $A$, лежащую на прямой $AB$.

Расстояние от точки $A$ до плоскости $CDD_1C_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на эту плоскость. В кубе ребро $AD$ перпендикулярно грани $CDD_1C_1$ (поскольку $AD \perp CD$ и $AD \perp DD_1$).

Длина ребра $AD$ равна длине стороны единичного куба, то есть $a=1$.

Следовательно, расстояние между прямыми $AB$ и $DC_1$ равно $AD = 1$.

Можно также использовать метод координат. Пусть начало координат находится в точке $A$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Вектор направления прямой $AB$ равен $\vec{u} = \vec{AB} = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Вектор направления прямой $DC_1$ равен $\vec{v} = \vec{DC_1} = (1-0, 1-1, 1-0) = (1,0,1)$.

Возьмем точку $P_1 = A(0,0,0)$ на прямой $AB$ и точку $P_2 = D(0,1,0)$ на прямой $DC_1$.

Вектор $\vec{P_2P_1} = (0-0, 1-0, 0-0) = (0,1,0)$.

Найдем векторное произведение $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) = (0, -1, 0)$.

Модуль векторного произведения: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$.

Смешанное произведение $(\vec{P_2P_1} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))$:

$(0,1,0) \cdot (0,-1,0) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

$d = \frac{|-1|}{1} = 1$.

Ответ:

1