Номер 13, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны 1.

Перевод в СИ

Для данной геометрической задачи перевод в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах (все ребра равны 1).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем геометрические свойства правильной шестиугольной призмы.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$.В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно его стороне, т.е. 1.Длины сторон треугольника $BCF$:

• Сторона $BC$ является ребром шестиугольника, поэтому $BC = 1$.
• Сторона $CF$ является большой диагональю шестиугольника (проходит через центр). Ее длина равна $2a$, т.е. $CF = 2 \cdot 1 = 2$.
• Сторона $BF$ является малой диагональю шестиугольника. Ее длина равна $a\sqrt{3}$, т.е. $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим плоскость $CFF_1$. Эта плоскость содержит прямую $CF$ (лежащую в основании) и прямую $FF_1$ (боковое ребро призмы).Так как призма правильная, боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CF$ в плоскости основания. Поскольку $ \triangle BCF $ является прямоугольным с прямым углом при $B$, то $BH$ является высотой, проведенной к гипотенузе $CF$.Длина отрезка $BH$ — это расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.Поскольку $BH$ лежит в плоскости основания и $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания, то $BH \perp FF_1$.Таким образом, $BH$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым $CF$ и $FF_1$, лежащим в плоскости $CFF_1$. Отсюда следует, что прямая $BH$ перпендикулярна плоскости $CFF_1$.Следовательно, длина отрезка $BH$ является искомым расстоянием от точки $B$ до плоскости $CFF_1$.

Найдем длину высоты $BH$ в прямоугольном треугольнике $BCF$. Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения его катетов:$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Также площадь треугольника может быть найдена как половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot BH = BH$.Приравнивая два выражения для площади, получаем:$BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CFF_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.