Номер 11, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CDD_1$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер $a = 1$.

Найти: Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1$.

Решение: Плоскость $CDD_1$ представляет собой грань $CDD_1C_1$ призмы. Так как призма является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, плоскость $CDD_1C_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1C_1$ равно расстоянию от точки B до прямой $CD$, лежащей в плоскости основания.

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Нам необходимо найти расстояние от вершины B до стороны CD.

Угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n$ - количество сторон. Для шестиугольника $n=6$, следовательно, угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Значит, $\angle BCD = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник BCD. Это равнобедренный треугольник, так как $BC = CD = 1$ (длины ребер). Опустим перпендикуляр из точки B на прямую, содержащую отрезок CD. Пусть H - основание этого перпендикуляра. Так как $\angle BCD = 120^\circ$ (тупой угол), основание перпендикуляра H будет лежать на продолжении отрезка CD за точку D.

В прямоугольном треугольнике BCH угол $\angle BCH$ является смежным с углом $\angle BCD$. Следовательно, $\angle BCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Расстояние от точки B до прямой CD равно длине отрезка BH. В прямоугольном треугольнике BCH гипотенуза $BC = 1$. Используем тригонометрическое соотношение: $BH = BC \cdot \sin(\angle BCH)$ $BH = 1 \cdot \sin(60^\circ)$ $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: Расстояние от точки B до плоскости $CDD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.