Номер 8, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер $a = 1$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Решение:

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Так как основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1, расположим его в плоскости $xy$ так, чтобы центр основания совпадал с началом координат.

Координаты вершин основания:

$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

Найдем высоту пирамиды $h_S$. Боковое ребро $SA=1$. Расстояние от центра основания $O(0,0,0)$ до вершины $A$ равно $OA = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $h_S = SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($O$ - основание высоты):

$SA^2 = OA^2 + SO^2$

$1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + h_S^2$

$1 = \frac{1}{2} + h_S^2 \implies h_S^2 = \frac{1}{2} \implies h_S = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершины $S$: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$. Используем формулу для координат середины отрезка:

$E = \left(\frac{x_S+x_B}{2}, \frac{y_S+y_B}{2}, \frac{z_S+z_B}{2}\right)$

$E = \left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 - \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Теперь найдем уравнение плоскости $ACE$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек $A$, $C$, $E$ в уравнение плоскости:

Для $A\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$: $A\left(-\frac{1}{2}\right) + B\left(-\frac{1}{2}\right) + C(0) + D = 0 \implies -\frac{1}{2}A - \frac{1}{2}B + D = 0 \implies -A - B + 2D = 0$ (1)

Для $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$: $A\left(\frac{1}{2}\right) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(0) + D = 0 \implies \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B + D = 0 \implies A + B + 2D = 0$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2): $(-A - B + 2D) + (A + B + 2D) = 0 \implies 4D = 0 \implies D = 0$.

Подставим $D=0$ в уравнение (1): $-A - B = 0 \implies B = -A$.

Для $E\left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$: $A\left(\frac{1}{4}\right) + B\left(-\frac{1}{4}\right) + C\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + D = 0 \implies \frac{1}{4}A - \frac{1}{4}B + \frac{\sqrt{2}}{4}C + D = 0 \implies A - B + \sqrt{2}C + 4D = 0$ (3)

Подставим $D=0$ и $B=-A$ в уравнение (3):

$A - (-A) + \sqrt{2}C = 0 \implies 2A + \sqrt{2}C = 0 \implies \sqrt{2}C = -2A \implies C = -\frac{2A}{\sqrt{2}} = -A\sqrt{2}$.

Возьмем $A=1$. Тогда $B=-1$ и $C=-\sqrt{2}$.

Уравнение плоскости $ACE$ имеет вид $x - y - \sqrt{2}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ до плоскости $ACE$, используя формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь $(x_0, y_0, z_0) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, а $A=1, B=-1, C=-\sqrt{2}, D=0$.

$d\left(B, ACE\right) = \frac{\left|1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + (-\sqrt{2}) \cdot 0 + 0\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{\left|\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0\right|}{\sqrt{1 + 1 + 2}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{|1|}{\sqrt{4}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{1}{2}$.

Отметим, что этот результат согласуется с геометрическим свойством: так как точка $E$ является серединой отрезка $SB$ и лежит в плоскости $ACE$, то расстояния от точек $S$ и $B$ до плоскости $ACE$ равны.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$ равно $0.5$.