Номер 3, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до плоскости $CDA_1$.

4. В...

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CDA_1$.

Решение:

Поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Поскольку это единичный куб, длина его ребра равна 1. Тогда координаты необходимых вершин будут:

• $D = (0,0,0)$

• $C = (1,0,0)$

• $A_1 = (0,1,1)$

• $B = (1,1,0)$

Найдем уравнение плоскости $CDA_1$. Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + K = 0$. Плоскость проходит через точку $D(0,0,0)$, поэтому подставим ее координаты в уравнение: $A(0) + B(0) + C(0) + K = 0 \Rightarrow K = 0$. Уравнение плоскости упрощается до $Ax + By + Cz = 0$.

Теперь подставим координаты точки $C(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) = 0 \Rightarrow A = 0$. Уравнение плоскости теперь имеет вид $By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $A_1(0,1,1)$: $B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow C = -B$. Для простоты выберем $B=1$. Тогда $C=-1$. Таким образом, уравнение плоскости $CDA_1$ имеет вид $1 \cdot y + (-1) \cdot z = 0$, или $y - z = 0$.

Для нахождения расстояния от точки $B(1,1,0)$ до плоскости $y - z = 0$ (которую можно записать как $0x + 1y - 1z + 0 = 0$) используем формулу расстояния от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае: Координаты точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1,1,0)$. Коэффициенты уравнения плоскости $(A,B,C,D) = (0,1,-1,0)$.

Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$ $d = \frac{|0 + 1 + 0 + 0|}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$ $d = \frac{|1|}{\sqrt{2}}$ $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} $