Номер 38, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CE_1$.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

длина ребра основания $a = 1$ м.

высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$.

Решение:

Рассмотрим систему координат, где центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Высота призмы $h=1$. Длина стороны основания $a=1$.

Определим координаты необходимых вершин:

Координаты точки $B$: $\left(a \cos\left(60^\circ\right), a \sin\left(60^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $C$: $\left(a \cos\left(120^\circ\right), a \sin\left(120^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right), 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $E$: $\left(a \cos\left(240^\circ\right), a \sin\left(240^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right), 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $E_1$: $E_1 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$ (поскольку $E_1$ находится над $E$ на высоте $h=1$).

Найдем векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:

$\vec{CB} = B - C = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0\right) = \left(1, 0, 0\right)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = \left(-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0\right) = \left(0, -\sqrt{3}, 1\right)$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ можно найти по формуле: $d = \frac{\left|\vec{CB} \times \vec{CE_1}\right|}{\left|\vec{CE_1}\right|}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$\left|\vec{CB} \times \vec{CE_1}\right| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем модуль вектора $\vec{CE_1}$:

$\left|\vec{CE_1}\right| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Тогда расстояние $d = \frac{2}{2} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдем длины его сторон:

$BC = 1$ (это ребро основания призмы).

Диагональ $CE$ в основании является короткой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина $CE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

$CE_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $CEE_1$ с катетами $CE = \sqrt{3}$ и $EE_1 = 1$ (высота призмы). Тогда $CE_1 = \sqrt{CE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Диагональ $BE$ в основании является длинной диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$ (проходит через центр). Ее длина $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$BE_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $BEE_1$ с катетами $BE = 2$ и $EE_1 = 1$. Тогда $BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны: $BC=1$, $CE_1=2$, $BE_1=\sqrt{5}$.

Проверим соотношение Пифагора: $BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $BCE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle BCE_1 = 90^\circ $).

Следовательно, отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $CE_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ равно длине отрезка $BC$.

Расстояние $d = BC = 1$.

Ответ:

1