Номер 31, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Точка $B$ и прямая $AE$ лежат в плоскости основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$. Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния в плоскости правильного шестиугольника.

Рассмотрим треугольник $ABE$ в основании призмы. Определим длины его сторон:

1. Сторона $AB$ является ребром правильного шестиугольника. Согласно условию, длина всех ребер равна 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Сторона $AE$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Малая диагональ соединяет вершины, между которыми лежит одна вершина (например, $A$ и $E$, пропуская $F$). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Большая диагональ соединяет противоположные вершины (например, $B$ и $E$, пропуская $C$ и $D$). Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, мы имеем треугольник $ABE$ со сторонами $AB = 1$, $AE = \sqrt{3}$ и $BE = 2$.

Проверим, является ли треугольник $ABE$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$AB^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $AB^2 + AE^2 = BE^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (угол $\angle BAE = 90^\circ$).

Поскольку $AB \perp AE$, то длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Следовательно, расстояние равно $AB = 1$.

Ответ:

$1$