Номер 29, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Решение:
Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ можно найти, построив прямоугольный треугольник.

1.Расположение точки и прямой.
Точка $B$ находится в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $E_1F_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскости оснований параллельны друг другу.

2.Проекция точки $B$ на плоскость верхнего основания.
Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость верхнего основания является точка $B_1$. Длина отрезка $BB_1$ равна высоте призмы, которая, по условию задачи, равна 1. То есть, $BB_1 = 1$.

3.Расстояние от точки $B_1$ до прямой $E_1F_1$ в плоскости верхнего основания.
Рассмотрим верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной $a=1$. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $E_1F_1$.
Для удобства введем систему координат с началом в центре шестиугольника $O_1$. Пусть ось X проходит через $A_1=(1,0)$. Тогда координаты вершин будут:
$A_1 = (1, 0)$
$B_1 = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C_1 = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$D_1 = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ)) = (-1, 0)$
$E_1 = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_1 = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
Прямая $E_1F_1$ является горизонтальной линией, проходящей через точки $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Ее уравнение: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точка $B_1$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$ равно $|y_0 - c|$.
Расстояние от $B_1$ до прямой $E_1F_1$ (обозначим его $d_{B_1P_1}$) будет:
$d_{B_1P_1} = |\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})| = |\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
Пусть $P_1$ - это точка на прямой $E_1F_1$, ближайшая к $B_1$. Тогда $B_1P_1 = \sqrt{3}$.

4.Вычисление искомого расстояния.
Отрезок $BB_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания, а следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая отрезок $B_1P_1$.
Таким образом, треугольник $BB_1P_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.
Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ - это длина гипотенузы $BP_1$ этого треугольника.
Применяем теорему Пифагора:
$BP_1^2 = BB_1^2 + B_1P_1^2$
$BP_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$
$BP_1^2 = 1 + 3$
$BP_1^2 = 4$
$BP_1 = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:
2