Номер 36, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Дано:

Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Решение:

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, то длина стороны шестиугольника $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Найдем длины сторон треугольника $BCF$.

Сторона $BC$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $BC = 1$.

Сторона $CF$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали равна двум длинам стороны шестиугольника.

$CF = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Сторона $BF$ — это малая диагональ правильного шестиугольника. Длина малой диагонали равна стороне шестиугольника, умноженной на $\sqrt{3}$.

$BF = AB \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Проверим вид треугольника $BCF$, используя теорему Пифагора, чтобы определить, является ли он прямоугольным.

$BC^2 = 1^2 = 1$.

$BF^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

$CF^2 = 2^2 = 4$.

Так как $BC^2 + BF^2 = 1 + 3 = 4$ и $CF^2 = 4$, то $BC^2 + BF^2 = CF^2$. По обратной теореме Пифагора треугольник $BCF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBF = 90^\circ$).

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$ — это длина высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CF$ в прямоугольном треугольнике $BCF$. Площадь треугольника $BCF$ можно выразить двумя способами.

Как площадь прямоугольного треугольника: $S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF$.

$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Как половина произведения основания на высоту: $S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot h$.

$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = h$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.