Номер 34, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DF$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $H = 1$.

Перевод в СИ

Величины заданы в безразмерных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется. Если бы были указаны единицы измерения, например, метры, то все длины были бы в метрах, и ответ был бы также в метрах.

Найти:

Расстояние от точки B до прямой DF.

Решение

Поскольку точка B и прямая DF находятся в плоскости основания (базового шестиугольника) $ABCDEF$, задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой DF в правильном шестиугольнике со стороной, равной 1.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:
• Кратчайшая диагональ (соединяющая вершины через одну, например, AC, BD, CE, DF, EA, FB) имеет длину $a\sqrt{3}$.
• Длиннейшая диагональ (соединяющая противоположные вершины, например, AD, BE, CF) имеет длину $2a$.

В нашем случае сторона $a = 1$. Рассмотрим треугольник BDF, образованный вершинами B, D и F. Стороны этого треугольника являются диагоналями шестиугольника:
• $DF$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины D и F, между которыми находится вершина E. Ее длина $DF = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BD$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины B и D, между которыми находится вершина C. Ее длина $BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BF$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины B и F, между которыми находится вершина A. Ее длина $BF = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник BDF является равносторонним треугольником со стороной, равной $\sqrt{3}$.

Расстояние от точки B до прямой DF - это длина высоты равностороннего треугольника BDF, опущенной из вершины B на сторону DF. Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $S$ есть $h = S \frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае, $S = \sqrt{3}$. Следовательно, расстояние $h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Это расстояние равно 1.5.

Ответ:

1.5