Номер 37, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны $1$.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.
Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.
Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр находится в $O(0,0,0)$ и вершина $A$ лежит на оси $Ox$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
Для верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ координата $z$ будет равна высоте призмы $h=1$:
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Таким образом, имеем координаты необходимых точек:
$B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$A(1, 0, 0)$
$E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:
$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве может быть найдено по формуле: $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, где $P$ - данная точка, $A$ - точка на прямой, $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой. В нашем случае $P=B$, точка на прямой - $A$, а направляющий вектор - $\vec{AE_1}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = (-1/2) \cdot (-3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + (0) \cdot (1)$
$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$ перпендикулярны. Это означает, что угол $\angle BAE_1$ в треугольнике $BAE_1$ равен $90^\circ$.
Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$ является длиной отрезка $AB$, так как $AB$ является перпендикуляром, опущенным из $B$ на прямую $AE_1$.
Длина отрезка $AB$ является ребром основания призмы, и по условию задачи все ребра равны $1$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$

Для полноты решения приведем расчеты с использованием формулы векторного произведения:
Вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AE_1}$:
$\vec{AB} \times \vec{AE_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$
$= \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((-1/2)(1) - 0(-3/2)) + \mathbf{k} ((-1/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-3/2))$
$= (\sqrt{3}/2) \mathbf{i} - (-1/2) \mathbf{j} + (\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4) \mathbf{k}$
$= (\sqrt{3}/2, 1/2, \sqrt{3})$

Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{AB} \times \vec{AE_1}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 3} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{AE_1}$:
$|\vec{AE_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$:
$d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AE_1}|}{|\vec{AE_1}|} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$