Номер 4, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В единичном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$.

Дано:

Единичный тетраэдр $ABCD$.

Длина ребра тетраэдра $a=1$.

Точка $E$ — середина ребра $CD$.

Найти:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим тетраэдр $ABCD$ в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Вершину $B$ разместим на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости $Oxy$. Так как треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a=1$, координаты $C$ будут $C=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для вершины $D$ (как и для любой другой вершины правильного тетраэдра со стороной $a$, если одна из вершин в начале координат, а остальные в $xy$-плоскости) используем тот факт, что её проекция на плоскость $ABC$ совпадает с центром треугольника $ABC$, а высота тетраэдра $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Координаты центра $O_{ABC}$ равностороннего треугольника $ABC$: $O_{ABC} = (\frac{0+1+1/2}{3}, \frac{0+0+\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{3/2}{3}, \frac{\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0)$.

Высота правильного тетраэдра с ребром $a=1$ равна $H = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Следовательно, координаты вершины $D$ будут $D = (O_{ABC,x}, O_{ABC,y}, H) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

Таким образом, имеем координаты вершин:

$A=(0,0,0)$

$B=(1,0,0)$

$C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Точка $E$ — середина ребра $CD$. Координаты $E$ находятся как среднее арифметическое координат $C$ и $D$:

$E = (\frac{C_x+D_x}{2}, \frac{C_y+D_y}{2}, \frac{C_z+D_z}{2})$

$E = (\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{\sqrt{3}/2+\sqrt{3}/6}{2}, \frac{0+\sqrt{6}/3}{2})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}/6+\sqrt{3}/6}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{4\sqrt{3}/6}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{2\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

Теперь найдем уравнение плоскости $ABE$. Поскольку $A=(0,0,0)$ лежит в этой плоскости, уравнение плоскости будет иметь вид $ax+by+cz=0$.

Векторы, лежащие в плоскости $ABE$: $\vec{AB}$ и $\vec{AE}$.

$\vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$

$\vec{AE} = E - A = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{3}-0, \frac{\sqrt{6}}{6}-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ABE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AE}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}) - \mathbf{j}(1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = (0, -\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Для упрощения коэффициентов умножим нормальный вектор на $-6$: $\vec{n'} = (0 \cdot (-6), -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot (-6), \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-6)) = (0, \sqrt{6}, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $ABE$ с использованием этого нормального вектора: $0x + \sqrt{6}y - 2\sqrt{3}z = 0$.

Можно разделить все коэффициенты на $\sqrt{3}$: $\sqrt{2}y - 2z = 0$.

Теперь найдем расстояние $h$ от точки $D=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ до плоскости $\sqrt{2}y - 2z = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D_{plane}=0$:

$h = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D_{plane}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае $A=0$, $B=\sqrt{2}$, $C=-2$, $D_{plane}=0$. Точка $D=(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

$h = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} - 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} + 0|}{\sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + (-2)^2}}$

$h = \frac{|\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3}|}{\sqrt{2 + 4}}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$h = \frac{|\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{4\sqrt{6}}{6}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{|-\frac{3\sqrt{6}}{6}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{|-\frac{\sqrt{6}}{2}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{1}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$ равно $\frac{1}{2}$.