Номер 9, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1$, обозначим как $d(B, DEE_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Установка системы координат:

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0, 0, 0)$. Поскольку призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Длина всех рёбер равна 1, следовательно, длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Расстояние от центра до любой вершины равно длине стороны. Расположим вершину $D$ на положительной оси $Ox$.

Координаты вершин: точка $B(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $D(1, 0, 0)$, точка $E(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, точка $E_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ (так как высота $h=1$).

2. Нахождение уравнения плоскости $DEE_1$:

Для нахождения уравнения плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости. Это векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DE_1}$.

Вектор $\vec{DE} = E - D = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{DE_1} = E_1 - D = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{DE} \times \vec{DE_1}$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2}) + \mathbf{k}(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$.

Уравнение плоскости имеет вид $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y + 0z + D_p = 0$.

Для нахождения $D_p$ подставим координаты одной из точек плоскости, например, $D(1, 0, 0)$: $\frac{\sqrt{3}}{2}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + D_p = 0 \Rightarrow D_p = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, уравнение плоскости $DEE_1$ есть $\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$. Для упрощения, умножим уравнение на 2: $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$.

3. Расстояние от точки до плоскости:

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_p = 0$ вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_p|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь точка $B = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Параметры плоскости: $A = \sqrt{3}$, $B = 1$, $C = 0$, $D_p = -\sqrt{3}$.

$d(B, DEE_1) = \frac{|\sqrt{3}(-\frac{1}{2}) + 1(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 0(0) - \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-\sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d(B, DEE_1) = \frac{|-2\sqrt{3}|}{2}$

$d(B, DEE_1) = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Геометрическая интерпретация подтверждает этот результат: поскольку призма является прямой, плоскость $DEE_1D_1$ (которая является боковой гранью) перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, расстояние от точки $B$ до плоскости $DEE_1D_1$ равно расстоянию от точки $B$ до линии пересечения этих плоскостей, то есть до прямой $DE$ в плоскости основания. Расстояние между параллельными сторонами $BC$ и $DE$ в правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ равно $a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $BC$, расстояние от $B$ до $DE$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$