Номер 16, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$.

17. В правильной шестиугольной

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех рёбер призмы $a = 1$.

Перевод в СИ

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина, перевод не требуется).

Найти

Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$, то есть $d(B, (DFF_1))$.

Решение

Для решения задачи введём прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная, её основание — правильный шестиугольник. Длина стороны шестиугольника равна $a=1$. Высота призмы также равна $a=1$.

Расположим вершины шестиугольника в плоскости $xy$. Если вершина A лежит на положительной оси $x$, то координаты вершин будут:

• A: $(1, 0, 0)$
• B: $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• C: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• D: $(-1, 0, 0)$
• E: $(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ имеют ту же $x$ и $y$ координаты, но $z$-координата будет равна высоте призмы, то есть 1. Таким образом, координаты точек, определяющих плоскость $DFF_1$, следующие:

• D: $(-1, 0, 0)$
• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F_1$: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Плоскость $DFF_1$ является вертикальной, так как содержит вертикальные рёбра $DD_1$ и $FF_1$ (или, точнее, $DD_1 \parallel FF_1$ и $DD_1 \perp$ основанию). Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$ будет равно расстоянию от точки B до линии пересечения этой плоскости с плоскостью основания (плоскостью $xy$). Линией пересечения является прямая DF.

Найдём уравнение прямой DF в плоскости $xy$. Используем точки D$(-1, 0)$ и F$(1/2, -\sqrt{3}/2)$. Вектор $\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2)) = (-3/2, \sqrt{3}/2)$. Наклон прямой: $m = \frac{\sqrt{3}/2}{-3/2} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Уравнение прямой в виде $y - y_1 = m(x - x_1)$: $y - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-1))$ $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 1)$ $3y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}$ $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3} = 0$. Это и есть уравнение плоскости $DFF_1$ (так как координата $z$ не входит в уравнение, это означает, что плоскость параллельна оси $z$, т.е. вертикальна).

Теперь найдём расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_0 = 0$. В нашем случае уравнение плоскости $\sqrt{3}x + 3y + 0z + \sqrt{3} = 0$. Используем формулу расстояния от точки до плоскости: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_0|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. $A = \sqrt{3}$, $B = 3$, $C = 0$, $D_0 = \sqrt{3}$. $x_0 = 1/2$, $y_0 = \sqrt{3}/2$, $z_0 = 0$.

$d(B, (DFF_1)) = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 3(\sqrt{3}/2) + 0(0) + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 9}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|\frac{4\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{12}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|2\sqrt{3} + \sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{|3\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}$ $d(B, (DFF_1)) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки B до плоскости $DFF_1$ равно $3/2$ или $1.5$.