Номер 3, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат.

1. Введение системы координат:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$. Так как куб единичный, длина каждого его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$

2. Определение прямых:

Прямая $AB$: Прямая $AB$ проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.
Возьмем точку $P_1 = A = (0,0,0)$ на этой прямой.

Прямая $A_1C_1$: Прямая $A_1C_1$ проходит через точку $A_1(0,0,1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = (1-0, 1-0, 1-1) = (1,1,0)$.
Возьмем точку $P_2 = A_1 = (0,0,1)$ на этой прямой.

Эти прямые являются скрещивающимися, поскольку их направляющие векторы не коллинеарны ($\vec{v_1} \ne k\vec{v_2}$), и они не лежат в одной плоскости (например, $AB$ лежит в плоскости $z=0$, а $A_1C_1$ - в плоскости $z=1$).

3. Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1$, $P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ соответственно, вычисляется по формуле: $d = \frac{|(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Найдем вектор $\vec{P_1P_2}$: $\vec{P_1P_2} = P_2 - P_1 = (0-0, 0-0, 1-0) = (0,0,1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$: $\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0,0,1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения: $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = ||(0,0,1)|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1$.

Вычислим скалярное произведение (числитель формулы): $(\vec{P_1P_2}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,0,1) \cdot (0,0,1) = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$.

Подставим значения в формулу для расстояния: $d = \frac{|1|}{|1|} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Прямая $AB$ является ребром куба и лежит в плоскости нижнего основания $ABCD$. В нашей системе координат эта плоскость задается уравнением $z=0$. Прямая $A_1C_1$ является диагональю верхнего основания куба $A_1B_1C_1D_1$. Эта плоскость задается уравнением $z=1$. Плоскости $z=0$ и $z=1$ параллельны. Расстояние между скрещивающимися прямыми, если одна из них лежит в одной из двух параллельных плоскостей, а другая - в другой, равно расстоянию между этими параллельными плоскостями. Расстояние между плоскостями $z=0$ и $z=1$ равно $|1-0|=1$. Таким образом, расстояние между прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равно 1.

Ответ: 1