Номер 18, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания шестиугольника $a=1$ и высота призмы $h=1$. Поскольку задача не содержит физических величин, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CEF_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр нижнего основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0)$ в плоскости $z=0$ имеют следующие координаты:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь те же $x, y$ координаты, что и соответствующие вершины нижнего основания, но $z$-координату, равную высоте призмы, то есть 1.

Таким образом, необходимые координаты точек:

• Точка $B: (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• Точки, определяющие плоскость $CEF_1$:

• $C: (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $E: (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F_1: (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $CEF_1$. Для этого определим два вектора, лежащие в этой плоскости, например $\vec{CE}$ и $\vec{CF_1}$.

$\vec{CE} = E - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{CE} \times \vec{CF_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(1) - (0)(-\sqrt{3})) - \mathbf{j}((0)(1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((0)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(1))$

$\vec{n} = -\sqrt{3}\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} = (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3})$

Для удобства можем использовать более простой вектор нормали, разделив его на $\sqrt{3}$: $\vec{n'} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставляя компоненты вектора нормали, получаем $-x + 0y + z + D = 0$, или $-x + z + D = 0$.

Для нахождения $D$ подставим координаты одной из точек плоскости, например $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$:

$-(-1/2) + 0 + D = 0$

$1/2 + D = 0 \Rightarrow D = -1/2$

Таким образом, уравнение плоскости $CEF_1$ есть $-x + z - 1/2 = 0$. Умножим все коэффициенты на -2, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x$: $2x - 2z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $2x - 2z + 1 = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $A=2, B=0, C=-2, D=1$.

$d = \frac{|2(1/2) + 0(\sqrt{3}/2) + (-2)(0) + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{4 + 0 + 4}}$

$d = \frac{|2|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{2}{2\sqrt{2}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель:

$d = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$