Номер 1, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

Для решения задачи найдем расстояние между заданными прямыми, используя метод координат.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сторона куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Решение:

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ расположим вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.

Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Рассмотрим прямую $AB$. Она проходит через точку $A(0,0,0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Рассмотрим прямую $CD_1$. Она проходит через точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Направляющий вектор прямой $CD_1$: $\vec{v_2} = \vec{CD_1} = D_1 - C = (0-1, 1-1, 1-0) = (-1,0,1)$.

В качестве вектора, соединяющего точки на прямых, возьмем вектор $\vec{M_1M_2}$ от точки $M_1=A(0,0,0)$ на прямой $AB$ до точки $M_2=C(1,1,0)$ на прямой $CD_1$.

$\vec{M_1M_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1,1,0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле: $d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])|}{|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]|}$.

Сначала вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$[\vec{v_1} \times \vec{v_2}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1)) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (0,-1,0)$.

Модуль векторного произведения:

$|[\vec{v_1} \times \vec{v_2}]| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{0+1+0} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь вычислим смешанное произведение $(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}])$:

$(\vec{M_1M_2} \cdot [\vec{v_1} \times \vec{v_2}]) = (1,1,0) \cdot (0,-1,0) = 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0 - 1 + 0 = -1$.

Подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|-1|}{1} = \frac{1}{1} = 1$.

Альтернативное геометрическое решение:

Прямая $AB$ лежит в плоскости $y=0$ (плоскость, проходящая через грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ если смотреть вдоль оси $x$). Эта плоскость совпадает с плоскостью $xOz$.

Прямая $CD_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$. Заметим, что для обеих точек $y$-координата равна $1$. Это означает, что вся прямая $CD_1$ лежит в плоскости $y=1$. Эта плоскость параллельна плоскости $y=0$.

Поскольку прямая $AB$ лежит в плоскости $y=0$ и прямая $CD_1$ лежит в плоскости $y=1$, а эти две плоскости параллельны друг другу, то расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ равно расстоянию между этими двумя параллельными плоскостями. Расстояние между плоскостями $y=0$ и $y=1$ равно $|1-0|=1$.

Ответ: $1$.