Номер 12, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано:

Призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Поскольку в задаче не указаны единицы измерения, все ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$.

Решение:

Плоскость $AFF_1$ определена тремя точками $A$, $F$, $F_1$. Так как $AA_1$ и $FF_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны ($AA_1 \parallel FF_1$). Следовательно, точки $A$, $A_1$, $F_1$, $F$ лежат в одной плоскости, и плоскость $AFF_1$ совпадает с плоскостью боковой грани $AA_1F_1F$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые грани перпендикулярны плоскостям оснований. То есть, плоскость $AA_1F_1F$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до плоскости, перпендикулярной другой плоскости, содержащей эту точку, равно расстоянию от этой точки до линии пересечения двух плоскостей. Точка $B$ лежит в плоскости основания $ABCDEF$. Линия пересечения плоскостей $ABCDEF$ и $AA_1F_1F$ - это прямая, содержащая ребро $AF$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $AFF_1$ равно расстоянию от точки $B$ до прямой $AF$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1.

В правильном шестиугольнике все стороны равны, поэтому $AB = 1$ и $AF = 1$.

Внутренний угол правильного шестиугольника равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Следовательно, $\angle FAB = 120^\circ$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$. Опустим перпендикуляр $BM$ из точки $B$ на прямую $AF$. $BM$ - это искомое расстояние.

Так как $\angle FAB = 120^\circ$, точка $M$ будет лежать на продолжении отрезка $AF$ за точку $A$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$. Угол $\angle BAM$ является смежным углу $\angle FAB$.

$\angle BAM = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $ABM$ гипотенуза $AB = 1$.

Используем определение синуса: $BM = AB \sin(\angle BAM)$.

$BM = 1 \cdot \sin(60^\circ)$.

$BM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$