Номер 14, страница 160 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $ADD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длины всех ребер равны 1.

Перевод в СИ (для наглядности, в данном случае это безразмерная величина или условная единица измерения):
Длина ребра призмы $a = 1 \text{ м}$.
Высота призмы $h = 1 \text{ м}$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$.

Решение:

Рассмотрим правильную шестиугольную призму. Пусть длина всех ребер равна $a=1$.
Введем декартову систему координат. Поместим центр основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$.
Ось $x$ направим вдоль радиуса, соединяющего центр с вершиной $A$.
Ось $z$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (перпендикулярно плоскости основания).
Поскольку это правильный шестиугольник, расстояние от центра до любой вершины равно его стороне, т.е. $OA=OB=OC=OD=OE=OF=a=1$.
Координаты вершин основания $ABCDEF$ (при $z=0$):
Вершина $A$ находится на оси $x$, следовательно, ее координаты $A(1,0,0)$.
Вершина $D$ является противоположной вершине $A$, следовательно, ее координаты $D(-1,0,0)$.
Координаты вершины $B$ можно найти, учитывая, что угол $AOB$ в правильном шестиугольнике равен $60^\circ$.
Координаты точки $B$: $B(a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$.
Подставляя $a=1$: $B(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, то есть $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Высота призмы равна $h=1$. Соответствующие вершины верхнего основания будут иметь $z$-координату, увеличенную на 1.
Координаты $A_1(1,0,1)$ и $D_1(-1,0,1)$.

Теперь определим уравнение плоскости $ADD_1$.
Точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $D_1(-1,0,1)$ принадлежат этой плоскости.
Заметим, что для всех этих точек $y$-координата равна 0.
Таким образом, уравнение плоскости $ADD_1$ есть $y=0$.
Это можно представить в общем виде как $0x + 1y + 0z + 0 = 0$.

Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае, точка $B$ имеет координаты $(x_B, y_B, z_B) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Для плоскости $y=0$, имеем $A=0, B=1, C=0, D=0$.
Подставляем значения в формулу:
$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}}$
$d = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}|}{\sqrt{1}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADD_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.