Номер 7, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Дано

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1.

То есть, $AB = BC = CD = DA = 1$ (стороны основания).

И $SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

Перевод в СИ: Все длины даны в относительных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$, $d(B, SAC)$.

Решение

1. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная четырехугольная, ее основанием $ABCD$ является квадрат. Все ребра равны 1, значит, сторона квадрата $AB = 1$.

2. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в центре $O$ и взаимно перпендикулярны. Плоскость $SAC$ содержит диагональ $AC$.

3. В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$. ($AC \perp BD$)

4. Высота правильной пирамиды $SO$ (где $O$ - центр основания) перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе и диагонали $BD$. ($SO \perp BD$)

5. Мы имеем прямую $BD$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$, лежащим в плоскости $SAC$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$.

6. Расстояние от точки до плоскости, если прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярна плоскости, равно отрезку от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

7. Точка $B$ лежит на прямой $BD$, а прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$. Точка пересечения прямой $BD$ с плоскостью $SAC$ - это точка $O$ (центр квадрата).

8. Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$ равно длине отрезка $BO$.

9. Найдем длину диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной $1$. По теореме Пифагора или формуле диагонали квадрата: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

10. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{1}{2} BD$.

11. $BO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $BO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.