Страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Точка $B$ и прямая $AE$ лежат в плоскости основания правильной шестиугольной призмы $ABCDEF$. Следовательно, задача сводится к нахождению расстояния в плоскости правильного шестиугольника.

Рассмотрим треугольник $ABE$ в основании призмы. Определим длины его сторон:

1. Сторона $AB$ является ребром правильного шестиугольника. Согласно условию, длина всех ребер равна 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Сторона $AE$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Малая диагональ соединяет вершины, между которыми лежит одна вершина (например, $A$ и $E$, пропуская $F$). Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $AE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Большая диагональ соединяет противоположные вершины (например, $B$ и $E$, пропуская $C$ и $D$). Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, мы имеем треугольник $ABE$ со сторонами $AB = 1$, $AE = \sqrt{3}$ и $BE = 2$.

Проверим, является ли треугольник $ABE$ прямоугольным, используя теорему Пифагора:

$AB^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $AB^2 + AE^2 = BE^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ (угол $\angle BAE = 90^\circ$).

Поскольку $AB \perp AE$, то длина отрезка $AB$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AE$.

Следовательно, расстояние равно $AB = 1$.

Ответ:

$1$

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE$.

Решение:

Рассмотрим нижнее основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Все точки $B$, $C$, $E$ лежат в плоскости этого основания.

Определим длины сторон треугольника $BCE$:

1. $BC$ - это ребро шестиугольника, его длина равна $a=1$.

2. $CE$ - это малая диагональ правильного шестиугольника (соединяет вершины, между которыми находится одна другая вершина, например, $C$ и $E$ через $D$). Длина малой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. $BE$ - это большая диагональ правильного шестиугольника (соединяет противоположные вершины и проходит через центр шестиугольника). Длина большой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, треугольник $BCE$ имеет стороны с длинами $BC=1$, $CE=\sqrt{3}$, $BE=2$.

Проверим, является ли треугольник $BCE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$ для его сторон:

$BC^2 + CE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $BC^2 + CE^2 = BE^2$, треугольник $BCE$ является прямоугольным, и прямой угол находится напротив самой длинной стороны $BE$, то есть $\angle BCE = 90^\circ$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Поскольку отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $CE$ (угол $\angle BCE = 90^\circ$), то длина отрезка $BC$ и является искомым расстоянием.

Длина отрезка $BC$ равна 1, так как это ребро правильного шестиугольника.

Ответ:

1

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Дано:

Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Перевод в СИ: Поскольку все ребра призмы равны 1, и в условии задачи не указаны конкретные единицы измерения, считаем, что длина ребра равна 1 условной единице (ед.). Все дальнейшие вычисления будут производиться в этих условных единицах, и ответ будет также представлен в них.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$, то есть $d(B, AC)$.

Решение:

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$. Оно представляет собой правильный шестиугольник со стороной, равной длине ребра призмы, то есть $AB = BC = 1$.

В правильном шестиугольнике каждый внутренний угол равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Точка $B$ и прямая $AC$ лежат в одной плоскости – плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки до прямой в плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Пусть $H$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равнобедренным, так как $AB = BC = 1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $BHC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BC = 1$, а угол $\angle BCH = 30^\circ$.

Длина катета $BH$, противолежащего углу $BCH$, может быть найдена с помощью синуса: $BH = BC \cdot \sin(\angle BCH)$ $BH = 1 \cdot \sin(30^\circ)$ $BH = 1 \cdot \frac{1}{2}$ $BH = 0.5$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ составляет $0.5$ условных единиц.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $0.5$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DF$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $H = 1$.

Перевод в СИ

Величины заданы в безразмерных единицах, поэтому перевод в СИ не требуется. Если бы были указаны единицы измерения, например, метры, то все длины были бы в метрах, и ответ был бы также в метрах.

Найти:

Расстояние от точки B до прямой DF.

Решение

Поскольку точка B и прямая DF находятся в плоскости основания (базового шестиугольника) $ABCDEF$, задача сводится к нахождению расстояния от точки B до прямой DF в правильном шестиугольнике со стороной, равной 1.

В правильном шестиугольнике со стороной $a$:
• Кратчайшая диагональ (соединяющая вершины через одну, например, AC, BD, CE, DF, EA, FB) имеет длину $a\sqrt{3}$.
• Длиннейшая диагональ (соединяющая противоположные вершины, например, AD, BE, CF) имеет длину $2a$.

В нашем случае сторона $a = 1$. Рассмотрим треугольник BDF, образованный вершинами B, D и F. Стороны этого треугольника являются диагоналями шестиугольника:
• $DF$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины D и F, между которыми находится вершина E. Ее длина $DF = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BD$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины B и D, между которыми находится вершина C. Ее длина $BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BF$ - это короткая диагональ, так как она соединяет вершины B и F, между которыми находится вершина A. Ее длина $BF = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник BDF является равносторонним треугольником со стороной, равной $\sqrt{3}$.

Расстояние от точки B до прямой DF - это длина высоты равностороннего треугольника BDF, опущенной из вершины B на сторону DF. Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $S$ есть $h = S \frac{\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае, $S = \sqrt{3}$. Следовательно, расстояние $h = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$.

Это расстояние равно 1.5.

Ответ:

1.5

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны.

Пусть длина каждого ребра равна $a$.

Перевод в систему СИ:

Данных для перевода в систему СИ нет, так как все величины заданы в общем виде (через $a$).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

Решение:

Поскольку призма является правильной и все ее ребра равны $a$, основание призмы $ABCDEF$ представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a$. Прямая $AD$ лежит в плоскости этого основания.

В правильном шестиугольнике сторона $AB = a$. Диагональ $AD$ является большой диагональю и проходит через центр шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, то есть $AD = 2a$.

Рассмотрим треугольник $ABD$, вершины которого лежат в плоскости основания. Его стороны, которые мы знаем или можем легко найти, это $AB = a$ и $AD = 2a$. Сторона $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника.

Найдем длину малой диагонали $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BCD$. Его стороны $BC = a$ и $CD = a$. Угол между смежными сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle BCD = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $BCD$ получаем:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

Подставляем известные значения:

$BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$:

$BD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Таким образом, длина малой диагонали $BD = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $ABD$: $AB = a$, $AD = 2a$, $BD = a\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $ABD$ прямоугольным, используя теорему Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух коротких сторон с квадратом самой длинной стороны:

$AB^2 + BD^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

Квадрат самой длинной стороны $AD$ равен:

$AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABD = 90^\circ$). Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен отрезку $AB$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$. Пусть эта высота равна $h$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABD$ может быть найдена двумя способами:

1. Как половина произведения катетов: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h$.

Приравниваем оба выражения для площади, так как они относятся к одному и тому же треугольнику:

$a \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ - длина ребра, $a \ne 0$):

$h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Дано:

Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$.

Решение:

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Так как призма правильная и все её ребра равны $1$, то длина стороны шестиугольника $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Найдем длины сторон треугольника $BCF$.

Сторона $BC$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $BC = 1$.

Сторона $CF$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Длина большой диагонали равна двум длинам стороны шестиугольника.

$CF = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Сторона $BF$ — это малая диагональ правильного шестиугольника. Длина малой диагонали равна стороне шестиугольника, умноженной на $\sqrt{3}$.

$BF = AB \cdot \sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Проверим вид треугольника $BCF$, используя теорему Пифагора, чтобы определить, является ли он прямоугольным.

$BC^2 = 1^2 = 1$.

$BF^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

$CF^2 = 2^2 = 4$.

Так как $BC^2 + BF^2 = 1 + 3 = 4$ и $CF^2 = 4$, то $BC^2 + BF^2 = CF^2$. По обратной теореме Пифагора треугольник $BCF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle CBF = 90^\circ$).

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$ — это длина высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CF$ в прямоугольном треугольнике $BCF$. Площадь треугольника $BCF$ можно выразить двумя способами.

Как площадь прямоугольного треугольника: $S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BF$.

$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Как половина произведения основания на высоту: $S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot CF \cdot h$.

$S_{BCF} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = h$.

Приравнивая выражения для площади, получаем:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра призмы равны $1$.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$.

Решение:
Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.
Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, а высота призмы $h=1$.
Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр находится в $O(0,0,0)$ и вершина $A$ лежит на оси $Ox$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
Для верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ координата $z$ будет равна высоте призмы $h=1$:
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
Таким образом, имеем координаты необходимых точек:
$B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$A(1, 0, 0)$
$E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:
$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве может быть найдено по формуле: $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, где $P$ - данная точка, $A$ - точка на прямой, $\vec{v}$ - направляющий вектор прямой. В нашем случае $P=B$, точка на прямой - $A$, а направляющий вектор - $\vec{AE_1}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = (-1/2) \cdot (-3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + (0) \cdot (1)$
$\vec{AB} \cdot \vec{AE_1} = 3/4 - 3/4 + 0 = 0$
Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AE_1}$ перпендикулярны. Это означает, что угол $\angle BAE_1$ в треугольнике $BAE_1$ равен $90^\circ$.
Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$ является длиной отрезка $AB$, так как $AB$ является перпендикуляром, опущенным из $B$ на прямую $AE_1$.
Длина отрезка $AB$ является ребром основания призмы, и по условию задачи все ребра равны $1$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$

Для полноты решения приведем расчеты с использованием формулы векторного произведения:
Вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AE_1}$:
$\vec{AB} \times \vec{AE_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{pmatrix}$
$= \mathbf{i} ((\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j} ((-1/2)(1) - 0(-3/2)) + \mathbf{k} ((-1/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(-3/2))$
$= (\sqrt{3}/2) \mathbf{i} - (-1/2) \mathbf{j} + (\sqrt{3}/4 + 3\sqrt{3}/4) \mathbf{k}$
$= (\sqrt{3}/2, 1/2, \sqrt{3})$

Найдем модуль векторного произведения:
$|\vec{AB} \times \vec{AE_1}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (1/2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3/4 + 1/4 + 3} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{AE_1}$:
$|\vec{AE_1}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Расстояние от точки $B$ до прямой $AE_1$:
$d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AE_1}|}{|\vec{AE_1}|} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $1$

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CE_1$.

Дано:

правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

длина ребра основания $a = 1$ м.

высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$.

Решение:

Рассмотрим систему координат, где центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Высота призмы $h=1$. Длина стороны основания $a=1$.

Определим координаты необходимых вершин:

Координаты точки $B$: $\left(a \cos\left(60^\circ\right), a \sin\left(60^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $C$: $\left(a \cos\left(120^\circ\right), a \sin\left(120^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right), 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $E$: $\left(a \cos\left(240^\circ\right), a \sin\left(240^\circ\right), 0\right) = \left(1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right), 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$.

Координаты точки $E_1$: $E_1 = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$ (поскольку $E_1$ находится над $E$ на высоте $h=1$).

Найдем векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CE_1}$:

$\vec{CB} = B - C = \left(\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0\right) = \left(1, 0, 0\right)$.

$\vec{CE_1} = E_1 - C = \left(-\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0\right) = \left(0, -\sqrt{3}, 1\right)$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ можно найти по формуле: $d = \frac{\left|\vec{CB} \times \vec{CE_1}\right|}{\left|\vec{CE_1}\right|}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CE_1}$:

$\vec{CB} \times \vec{CE_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\sqrt{3})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k} = (0, -1, -\sqrt{3})$.

Найдем модуль векторного произведения:

$\left|\vec{CB} \times \vec{CE_1}\right| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{0 + 1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Найдем модуль вектора $\vec{CE_1}$:

$\left|\vec{CE_1}\right| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Тогда расстояние $d = \frac{2}{2} = 1$.

Альтернативный геометрический подход:

Рассмотрим треугольник $BCE_1$. Найдем длины его сторон:

$BC = 1$ (это ребро основания призмы).

Диагональ $CE$ в основании является короткой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Ее длина $CE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

$CE_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $CEE_1$ с катетами $CE = \sqrt{3}$ и $EE_1 = 1$ (высота призмы). Тогда $CE_1 = \sqrt{CE^2 + EE_1^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Диагональ $BE$ в основании является длинной диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$ (проходит через центр). Ее длина $BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$BE_1$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $BEE_1$ с катетами $BE = 2$ и $EE_1 = 1$. Тогда $BE_1 = \sqrt{BE^2 + EE_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $BCE_1$ равны: $BC=1$, $CE_1=2$, $BE_1=\sqrt{5}$.

Проверим соотношение Пифагора: $BC^2 + CE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $BC^2 + CE_1^2 = BE_1^2$, то треугольник $BCE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($ \angle BCE_1 = 90^\circ $).

Следовательно, отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $CE_1$. Расстояние от точки $B$ до прямой $CE_1$ равно длине отрезка $BC$.

Расстояние $d = BC = 1$.

Ответ:

1

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

Решение:

Рассмотрим единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a=1$.

Плоскость $ACC_1$ определяется тремя точками $A$, $C$, $C_1$. Эта плоскость содержит диагональ основания $AC$ и боковое ребро $CC_1$. Фактически, плоскость $ACC_1$ является плоскостью диагонального сечения $ACC_1A_1$.

Для того чтобы найти расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$, нам нужно опустить перпендикуляр из точки $B$ на эту плоскость.

Рассмотрим основание куба – квадрат $ABCD$. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и взаимно перпендикулярны. Следовательно, $BD \perp AC$.

Кроме того, ребро $CC_1$ куба перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, в которой лежит диагональ $BD$. Отсюда следует, что $CC_1 \perp BD$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $ACC_1$, то прямая $BD$ перпендикулярна всей плоскости $ACC_1$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ будет равно длине отрезка $BO$, где $O$ — точка пересечения прямой $BD$ с плоскостью $ACC_1$. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$ (и $AC$) в квадрате $ABCD$.

Найдем длину диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$. По теореме Пифагора:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Так как $O$ — середина диагонали $BD$, длина отрезка $BO$ равна половине длины $BD$:

$BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$, обозначим как $d(B, AB_1C_1)$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Найдем уравнение плоскости $AB_1C_1$. Для этого используем три точки, лежащие в этой плоскости: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - 0)$

$\vec{n} = -1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормального вектора: $-1x + 0y + 1z + D = 0$, или $-x + z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $A(0,0,0)$, подставим ее координаты в уравнение:

$-(0) + (0) + D = 0 \implies D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $AB_1C_1$ есть $-x + z = 0$, или $x - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x - z = 0$. Используем формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$, а уравнение плоскости $1x + 0y - 1z + 0 = 0$, то есть $A=1$, $B=0$, $C=-1$, $D=0$.

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 0 + 1}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1|}{\sqrt{2}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до плоскости $CDA_1$.

4. В...

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CDA_1$.

Решение:

Поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $D$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Поскольку это единичный куб, длина его ребра равна 1. Тогда координаты необходимых вершин будут:

• $D = (0,0,0)$

• $C = (1,0,0)$

• $A_1 = (0,1,1)$

• $B = (1,1,0)$

Найдем уравнение плоскости $CDA_1$. Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид $Ax + By + Cz + K = 0$. Плоскость проходит через точку $D(0,0,0)$, поэтому подставим ее координаты в уравнение: $A(0) + B(0) + C(0) + K = 0 \Rightarrow K = 0$. Уравнение плоскости упрощается до $Ax + By + Cz = 0$.

Теперь подставим координаты точки $C(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) = 0 \Rightarrow A = 0$. Уравнение плоскости теперь имеет вид $By + Cz = 0$.

Подставим координаты точки $A_1(0,1,1)$: $B(1) + C(1) = 0 \Rightarrow B + C = 0 \Rightarrow C = -B$. Для простоты выберем $B=1$. Тогда $C=-1$. Таким образом, уравнение плоскости $CDA_1$ имеет вид $1 \cdot y + (-1) \cdot z = 0$, или $y - z = 0$.

Для нахождения расстояния от точки $B(1,1,0)$ до плоскости $y - z = 0$ (которую можно записать как $0x + 1y - 1z + 0 = 0$) используем формулу расстояния от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае: Координаты точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1,1,0)$. Коэффициенты уравнения плоскости $(A,B,C,D) = (0,1,-1,0)$.

Подставим эти значения в формулу: $d = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}}$ $d = \frac{|0 + 1 + 0 + 0|}{\sqrt{0 + 1 + 1}}$ $d = \frac{|1|}{\sqrt{2}}$ $d = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} $

4. В единичном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$.

Дано:

Единичный тетраэдр $ABCD$.

Длина ребра тетраэдра $a=1$.

Точка $E$ — середина ребра $CD$.

Найти:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим тетраэдр $ABCD$ в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Вершину $B$ разместим на оси $Ox$: $B=(1,0,0)$.

Вершина $C$ лежит в плоскости $Oxy$. Так как треугольник $ABC$ является равносторонним со стороной $a=1$, координаты $C$ будут $C=(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Для вершины $D$ (как и для любой другой вершины правильного тетраэдра со стороной $a$, если одна из вершин в начале координат, а остальные в $xy$-плоскости) используем тот факт, что её проекция на плоскость $ABC$ совпадает с центром треугольника $ABC$, а высота тетраэдра $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Координаты центра $O_{ABC}$ равностороннего треугольника $ABC$: $O_{ABC} = (\frac{0+1+1/2}{3}, \frac{0+0+\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{3/2}{3}, \frac{\sqrt{3}/2}{3}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, 0)$.

Высота правильного тетраэдра с ребром $a=1$ равна $H = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Следовательно, координаты вершины $D$ будут $D = (O_{ABC,x}, O_{ABC,y}, H) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

Таким образом, имеем координаты вершин:

$A=(0,0,0)$

$B=(1,0,0)$

$C=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Точка $E$ — середина ребра $CD$. Координаты $E$ находятся как среднее арифметическое координат $C$ и $D$:

$E = (\frac{C_x+D_x}{2}, \frac{C_y+D_y}{2}, \frac{C_z+D_z}{2})$

$E = (\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{\sqrt{3}/2+\sqrt{3}/6}{2}, \frac{0+\sqrt{6}/3}{2})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{3\sqrt{3}/6+\sqrt{3}/6}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{4\sqrt{3}/6}{2}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{2\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

$E = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

Теперь найдем уравнение плоскости $ABE$. Поскольку $A=(0,0,0)$ лежит в этой плоскости, уравнение плоскости будет иметь вид $ax+by+cz=0$.

Векторы, лежащие в плоскости $ABE$: $\vec{AB}$ и $\vec{AE}$.

$\vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$

$\vec{AE} = E - A = (\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{3}-0, \frac{\sqrt{6}}{6}-0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{6})$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $ABE$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AE}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1/2 & \sqrt{3}/3 & \sqrt{6}/6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} - 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}) - \mathbf{j}(1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{6} - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \mathbf{k}(1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 0 \cdot \frac{1}{2})$

$\vec{n} = (0, -\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Для упрощения коэффициентов умножим нормальный вектор на $-6$: $\vec{n'} = (0 \cdot (-6), -\frac{\sqrt{6}}{6} \cdot (-6), \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-6)) = (0, \sqrt{6}, -2\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости $ABE$ с использованием этого нормального вектора: $0x + \sqrt{6}y - 2\sqrt{3}z = 0$.

Можно разделить все коэффициенты на $\sqrt{3}$: $\sqrt{2}y - 2z = 0$.

Теперь найдем расстояние $h$ от точки $D=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ до плоскости $\sqrt{2}y - 2z = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D_{plane}=0$:

$h = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D_{plane}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае $A=0$, $B=\sqrt{2}$, $C=-2$, $D_{plane}=0$. Точка $D=(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$.

$h = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} - 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} + 0|}{\sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + (-2)^2}}$

$h = \frac{|\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3}|}{\sqrt{2 + 4}}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$h = \frac{|\frac{\sqrt{6}}{6} - \frac{4\sqrt{6}}{6}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{|-\frac{3\sqrt{6}}{6}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{|-\frac{\sqrt{6}}{2}|}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\sqrt{6}}$

$h = \frac{1}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $D$ до плоскости $ABE$ равно $\frac{1}{2}$.

б. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACC_1$.

е. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости $ACC_1$.

Решение:

б.

Поскольку призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная треугольная, ее основания (треугольники ABC и $A_1B_1C_1$) являются равносторонними треугольниками, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.

Так как все ребра призмы равны 1, то стороны равностороннего треугольника ABC равны $a = 1$, и высота призмы $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Плоскость $ACC_1$ содержит боковую грань $ACC_1A_1$. Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости $ACC_1$, необходимо опустить перпендикуляр из точки B на эту плоскость.

Рассмотрим основание ABC. Проведем медиану BM к стороне AC. Поскольку треугольник ABC равносторонний, медиана BM также является высотой, проведенной к стороне AC. Следовательно, $BM \perp AC$.

Боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания ABC. Так как отрезок BM лежит в плоскости основания ABC, то $CC_1 \perp BM$.

Таким образом, отрезок BM перпендикулярен двум пересекающимся прямым AC и $CC_1$, которые лежат в плоскости $ACC_1$. Следовательно, отрезок BM перпендикулярен всей плоскости $ACC_1$.

Расстояние от точки B до плоскости $ACC_1$ равно длине отрезка BM.

Длина высоты BM равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение $a = 1$: $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

6. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ — правильная четырехугольная.

Все ребра пирамиды равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ (обозначим его $h$).

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде вершина $S$ проецируется в центр основания. Пусть $H$ — центр основания $ABCD$. Тогда $SH$ — высота пирамиды, и именно это расстояние нам нужно найти.

Основание $ABCD$ является квадратом со стороной $a = 1$.

Найдем длину диагонали основания $AC$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Центр квадрата $H$ является серединой диагонали $AC$. Следовательно, $AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SHA$. Гипотенуза $SA$ равна боковому ребру пирамиды, то есть $SA = l = 1$. Катеты этого треугольника — $SH$ (высота пирамиды $h$) и $AH$ (половина диагонали основания). По теореме Пифагора:

$SA^2 = SH^2 + AH^2$

$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{2}{4}$

$1 = h^2 + \frac{1}{2}$

Выразим $h^2$:

$h^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$h^2 = \frac{1}{2}$

Извлекаем квадратный корень:

$h = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$

$h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $S$ до плоскости $ABC$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

7. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Дано

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1.

То есть, $AB = BC = CD = DA = 1$ (стороны основания).

И $SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

Перевод в СИ: Все длины даны в относительных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$, $d(B, SAC)$.

Решение

1. Поскольку пирамида $SABCD$ правильная четырехугольная, ее основанием $ABCD$ является квадрат. Все ребра равны 1, значит, сторона квадрата $AB = 1$.

2. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ пересекаются в центре $O$ и взаимно перпендикулярны. Плоскость $SAC$ содержит диагональ $AC$.

3. В квадрате $ABCD$ диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$. ($AC \perp BD$)

4. Высота правильной пирамиды $SO$ (где $O$ - центр основания) перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания, в том числе и диагонали $BD$. ($SO \perp BD$)

5. Мы имеем прямую $BD$, которая перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$, лежащим в плоскости $SAC$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$.

6. Расстояние от точки до плоскости, если прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярна плоскости, равно отрезку от этой точки до точки пересечения прямой с плоскостью.

7. Точка $B$ лежит на прямой $BD$, а прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $SAC$. Точка пересечения прямой $BD$ с плоскостью $SAC$ - это точка $O$ (центр квадрата).

8. Таким образом, расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$ равно длине отрезка $BO$.

9. Найдем длину диагонали $BD$ квадрата $ABCD$ со стороной $1$. По теореме Пифагора или формуле диагонали квадрата: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

10. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$, поэтому $BO = \frac{1}{2} BD$.

11. $BO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $BO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер $a = 1$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$.

Решение:

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Так как основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1, расположим его в плоскости $xy$ так, чтобы центр основания совпадал с началом координат.

Координаты вершин основания:

$A = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$B = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$

$C = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

$D = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$

Найдем высоту пирамиды $h_S$. Боковое ребро $SA=1$. Расстояние от центра основания $O(0,0,0)$ до вершины $A$ равно $OA = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Высота пирамиды $h_S = SO$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($O$ - основание высоты):

$SA^2 = OA^2 + SO^2$

$1^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + h_S^2$

$1 = \frac{1}{2} + h_S^2 \implies h_S^2 = \frac{1}{2} \implies h_S = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершины $S$: $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$. Используем формулу для координат середины отрезка:

$E = \left(\frac{x_S+x_B}{2}, \frac{y_S+y_B}{2}, \frac{z_S+z_B}{2}\right)$

$E = \left(\frac{0 + \frac{1}{2}}{2}, \frac{0 - \frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Теперь найдем уравнение плоскости $ACE$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек $A$, $C$, $E$ в уравнение плоскости:

Для $A\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$: $A\left(-\frac{1}{2}\right) + B\left(-\frac{1}{2}\right) + C(0) + D = 0 \implies -\frac{1}{2}A - \frac{1}{2}B + D = 0 \implies -A - B + 2D = 0$ (1)

Для $C\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$: $A\left(\frac{1}{2}\right) + B\left(\frac{1}{2}\right) + C(0) + D = 0 \implies \frac{1}{2}A + \frac{1}{2}B + D = 0 \implies A + B + 2D = 0$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2): $(-A - B + 2D) + (A + B + 2D) = 0 \implies 4D = 0 \implies D = 0$.

Подставим $D=0$ в уравнение (1): $-A - B = 0 \implies B = -A$.

Для $E\left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$: $A\left(\frac{1}{4}\right) + B\left(-\frac{1}{4}\right) + C\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + D = 0 \implies \frac{1}{4}A - \frac{1}{4}B + \frac{\sqrt{2}}{4}C + D = 0 \implies A - B + \sqrt{2}C + 4D = 0$ (3)

Подставим $D=0$ и $B=-A$ в уравнение (3):

$A - (-A) + \sqrt{2}C = 0 \implies 2A + \sqrt{2}C = 0 \implies \sqrt{2}C = -2A \implies C = -\frac{2A}{\sqrt{2}} = -A\sqrt{2}$.

Возьмем $A=1$. Тогда $B=-1$ и $C=-\sqrt{2}$.

Уравнение плоскости $ACE$ имеет вид $x - y - \sqrt{2}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ до плоскости $ACE$, используя формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь $(x_0, y_0, z_0) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$, а $A=1, B=-1, C=-\sqrt{2}, D=0$.

$d\left(B, ACE\right) = \frac{\left|1 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + (-\sqrt{2}) \cdot 0 + 0\right|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{2})^2}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{\left|\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 0\right|}{\sqrt{1 + 1 + 2}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{|1|}{\sqrt{4}}$

$d\left(B, ACE\right) = \frac{1}{2}$.

Отметим, что этот результат согласуется с геометрическим свойством: так как точка $E$ является серединой отрезка $SB$ и лежит в плоскости $ACE$, то расстояния от точек $S$ и $B$ до плоскости $ACE$ равны.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE$ равно $0.5$.