Страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной.
Длины всех ребер равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $SAB$. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что длины сторон треугольника $SAB$ равны: $SA = 1$, $SB = 1$, $AB = 1$.

Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним (эквилатеральным) треугольником со стороной, равной $a = 1$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $SA$ в треугольнике $SAB$.

Для равностороннего треугольника со стороной $a$, длина высоты $h$ вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим значение стороны $a = 1$ в формулу: $h = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SC$.

16. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SC$.

17. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$...

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод данных в систему СИ:

Поскольку задача геометрическая и все длины ребер даны как безразмерные величины, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SC$, то есть $d(B, SC)$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $SBC$.

По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что:

$SB = 1$

$BC = 1$

$SC = 1$

Таким образом, треугольник $SBC$ является равносторонним треугольником со стороной, равной 1.

Расстояние от точки $B$ до прямой $SC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $SC$. Пусть $H$ - основание этого перпендикуляра на $SC$. Тогда $BH \perp SC$, и $BH$ является высотой равностороннего треугольника $SBC$.

Формула для высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a = 1$.

Следовательно, $BH = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$d(B, SC) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

17. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Все ребра равны 1, т.е. $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Перевод в СИ:

Все длины уже представлены в единой системе и не требуют перевода. Длина ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Решение:

Рассмотрим основание пирамиды $ABCD$. Так как пирамида является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ представляет собой квадрат. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это означает, что длина стороны квадрата $ABCD$ равна $AB = BC = CD = DA = 1$.

Нам нужно найти расстояние от вершины $B$ до прямой $AC$. Прямая $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. В квадрате диагонали перпендикулярны друг другу и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, отрезок $BO$ является высотой, опущенной из вершины $B$ на диагональ $AC$. Следовательно, длина отрезка $BO$ и будет искомым расстоянием.

Длину диагонали квадрата со стороной $a$ можно найти по формуле $d = a\sqrt{2}$. В нашем случае сторона квадрата $a = 1$. Тогда длина диагонали $AC$ равна: $AC = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

Поскольку диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам, длина отрезка $BO$ составляет половину длины диагонали $BD$ (или $AC$, так как диагонали квадрата равны). $BO = \frac{1}{2} AC$. Подставляем найденное значение $AC$: $BO = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

18. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

19. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой

Дано:

правильная четырехугольная пирамида $SABCD$;

все ребра равны 1.

Найти:

расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Решение:

1. Обозначим длину всех ребер пирамиды как $a$. По условию задачи, $a = 1$. Это означает, что $AB = BC = CD = DA = 1$ (ребра основания) и $SA = SB = SC = SD = 1$ (боковые ребра).

2. Рассмотрим основание пирамиды $ABCD$. Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основанием является квадрат со стороной $a=1$.

3. Найдем длину диагонали основания $BD$. В квадрате $ABCD$ по теореме Пифагора для треугольника $ABD$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

Подставим значения сторон:

$BD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BD = \sqrt{2}$

4. Рассмотрим треугольник $SBD$. Его стороны имеют следующие длины:

$SB = 1$ (боковое ребро)

$SD = 1$ (боковое ребро)

$BD = \sqrt{2}$ (диагональ основания)

5. Проверим, является ли треугольник $SBD$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов двух меньших сторон с квадратом наибольшей стороны:

$SB^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Так как $SB^2 + SD^2 = BD^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $SBD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$. Следовательно, ребро $SB$ перпендикулярно ребру $SD$ ($SB \perp SD$).

6. Расстояние от точки $B$ до прямой $SD$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $SD$. Поскольку мы установили, что $SB \perp SD$, отрезок $SB$ сам является таким перпендикуляром.

7. Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $SD$ равно длине ребра $SB$.

$Расстояние = SB = 1$

Ответ: $1$

19. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки S до прямой AC.

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основы

Дано:

Пирамида $SABCD$ — правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=1$, $SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AC$.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат $ABCD$, а вершина $S$ проецируется в центр основания. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$. Тогда $O$ является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае нам нужно найти длину отрезка $SH$, где $H$ — точка на прямой $AC$ такая, что $SH \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, то $SA=SC=1$. Следовательно, треугольник $SAC$ является равнобедренным.

Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Точка $O$ является центром квадрата, поэтому она является серединой диагонали $AC$.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В правильной пирамиде высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $O$. В частности, $SO \perp AC$.

Таким образом, отрезок $SO$ является высотой, опущенной из вершины $S$ на прямую $AC$ в треугольнике $SAC$. Это и есть искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $SOA$ равен $90^\circ$).

По теореме Пифагора:

$SO^2 + AO^2 = SA^2$

Мы знаем $SA=1$ и $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:

$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$SO = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$SO = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AC$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

20. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = AB = 1$.

Длина бокового ребра $l = SA = SB = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.

Решение:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AB$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $AB$. В данном случае, это высота боковой грани $SAB$, проведенная из вершины $S$ к стороне $AB$.

Рассмотрим треугольник $SAB$. Поскольку пирамида правильная, все ее боковые ребра равны, значит, $SA = SB = 2$. Следовательно, треугольник $SAB$ является равнобедренным с основанием $AB = 1$ и боковыми сторонами $SA = SB = 2$.

Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Тогда отрезок $SM$ является высотой равнобедренного треугольника $SAB$, проведенной к основанию $AB$. Эта высота также является медианой, поэтому $M$ действительно середина $AB$.

Длина отрезка $AM$ равна половине длины $AB$:

$AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}$

Треугольник $SMA$ является прямоугольным (угол $SMA = 90^\circ$). По теореме Пифагора в треугольнике $SMA$ имеем:

$SM^2 + AM^2 = SA^2$

Подставим известные значения:

$SM^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2^2$

$SM^2 + \frac{1}{4} = 4$

Выразим $SM^2$:

$SM^2 = 4 - \frac{1}{4}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$SM^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4}$

$SM^2 = \frac{15}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $SM$:

$SM = \sqrt{\frac{15}{4}}$

$SM = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{4}}$

$SM = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{15}}{2}$

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$ (единица длины).
Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение:

Поскольку точки $B$ и $A$, а также прямая $AF$ лежат в плоскости основания пирамиды, задача сводится к нахождению расстояния от точки до прямой в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Информация о боковых рёбрах пирамиды и её высоте является избыточной для решения данной задачи.

В правильном шестиугольнике все стороны равны между собой. Следовательно, длины сторон $AB$ и $AF$ равны $1$.

Угол между двумя соседними сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABF$. Это равнобедренный треугольник, у которого $AB = 1$, $AF = 1$ и угол между этими сторонами $\angle FAB = 120^\circ$.

Найдем площадь треугольника $ABF$ по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AF \cdot \sin(\angle FAB)$ $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AF$. Это расстояние представляет собой высоту треугольника $ABF$, опущенную из вершины $B$ на сторону $AF$. Площадь треугольника также можно выразить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot h$

Подставим найденное значение площади и длину стороны $AF$: $\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h$

Чтобы найти $h$, умножим обе части уравнения на $2$: $h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

22. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EF$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки B до прямой EF.

Решение:

Так как пирамида является правильной шестиугольной, её основание $ABCDEF$ представляет собой правильный шестиугольник. Точка B и прямая EF находятся в плоскости этого основания. Следовательно, задача сводится к определению расстояния от вершины B до стороны EF в правильном шестиугольнике со стороной $a = 1$.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В данном случае, сторона BC параллельна стороне EF.

Поскольку прямые BC и EF параллельны, расстояние от любой точки на прямой BC до прямой EF будет постоянным и равным расстоянию между этими параллельными прямыми. Точка B лежит на прямой BC, поэтому искомое расстояние равно расстоянию между прямыми BC и EF.

Расстояние между двумя параллельными сторонами в правильном шестиугольнике равно удвоенной длине его апофемы (расстояния от центра шестиугольника до середины стороны).

Апофема $r$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $r = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя значение стороны $a = 1$, получаем апофему: $r = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между параллельными сторонами BC и EF равно $2r$.

Расстояние $= 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Информация о длине бокового ребра пирамиды ($l=2$) является избыточной для решения данной задачи, поскольку и точка, и прямая лежат в плоскости основания.

Ответ:

Расстояние от точки B до прямой EF равно $\sqrt{3}$.

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $AB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. Так как призма является правильной, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно любому отрезку, лежащему в этой плоскости и проходящему через точку $B$, в частности, отрезку $AB$. Таким образом, треугольник $ABB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($$\angle ABB_1 = 90^\circ$$). Длины катетов этого треугольника известны из условия: $$AB = 1$ (сторона основания).
$$BB_1 = 1$ (боковое ребро призмы). Расстояние от точки $B$ до прямой $AB_1$ - это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $AB_1$ в прямоугольном треугольнике $ABB_1$. Найдем длину гипотенузы $AB_1$ по теореме Пифагора: $$AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2}$
$$AB_1 = \sqrt{1^2 + 1^2}$
$$AB_1 = \sqrt{1 + 1}$
$$AB_1 = \sqrt{2}$ Площадь прямоугольного треугольника может быть выражена двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1$ (через катеты)
$$S = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH$ (через гипотенузу и высоту к ней) Приравняем эти выражения для площади: $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot AB_1 \cdot BH$
$$AB \cdot BB_1 = AB_1 \cdot BH$ Выразим $BH$: $$BH = \frac{AB \cdot BB_1}{AB_1}$ Подставим известные значения: $$BH = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{2}}$
$$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Избавимся от иррациональности в знаменателе: $$BH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ...

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны $1$, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ (стороны основания) и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$ (боковые ребра).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BCB_1$.

Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $B$, в том числе прямой $BC$.

Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle CBB_1 = 90^\circ$.

Длины катетов этого треугольника известны из условия задачи:

$BC = 1$ (сторона основания)

$BB_1 = 1$ (боковое ребро)

Найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора:

$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2$

$CB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$CB_1^2 = 1 + 1$

$CB_1^2 = 2$

$CB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CB_1$. Пусть $BH$ — этот перпендикуляр, где $H$ — точка на $CB_1$ такая, что $BH \perp CB_1$.

Площадь прямоугольного треугольника $BCB_1$ может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

2. Через гипотенузу и высоту, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot BH$

Приравнивая эти два выражения для площади, получим:

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot BH$

$BC \cdot BB_1 = CB_1 \cdot BH$

Подставим известные значения:

$1 \cdot 1 = \sqrt{2} \cdot BH$

$1 = \sqrt{2} \cdot BH$

Отсюда выразим $BH$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1.

В данном случае, все длины уже даны в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение:

1. Рассмотрим основание данной призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. По условию задачи, все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина каждой стороны шестиугольника, включая $AB$ и $AF$, равна 1. Высота призмы также равна 1, но это не влияет на решение данной задачи, так как точка $B$ и прямая $AF$ лежат в одной плоскости основания $ABCDEF$.
Задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$.

2. В правильном шестиугольнике каждый внутренний угол равен $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n=6$ — количество сторон. Таким образом, внутренний угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, угол $\angle FAB$ (угол между сторонами $FA$ и $AB$) в шестиугольнике $ABCDEF$ равен $120^\circ$.

3. Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$, необходимо опустить перпендикуляр из точки $B$ на прямую $AF$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.
Поскольку угол $\angle FAB = 120^\circ$ является тупым, основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $FA$ за точку $A$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle BAH$ является смежным с углом $\angle FAB$.
Следовательно, $\angle BAH = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABH$:
Длина гипотенузы $AB = 1$ (это сторона правильного шестиугольника).
Мы ищем длину катета $BH$, который является противолежащим углу $\angle BAH$.
Используем определение синуса: $\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$.
Отсюда выразим $BH$: $BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$.
Подставляем известные значения: $BH = 1 \cdot \sin(60^\circ)$.
Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $FE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE$.

Решение:

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, то длина стороны шестиугольника $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$, а также высота призмы $AA_1 = BB_1 = \dots = 1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $FE$, лежащих в одной плоскости (плоскости основания), достаточно рассмотреть геометрические свойства правильного шестиугольника.

Соединим точку $B$ с точками $F$ и $E$. Получим треугольник $BFE$.

Длины сторон этого треугольника:

Сторона $FE$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $FE = 1$.

Сторона $BF$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим, является ли треугольник $BFE$ прямоугольным, используя теорему Пифагора. Если $FE^2 + BF^2 = BE^2$, то угол $F$ прямой.

$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Так как $FE^2 + BF^2 = BE^2$, треугольник $BFE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поскольку $BF \perp FE$ (угол $F$ прямой), то отрезок $BF$ является искомым расстоянием.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $FE$ равно длине отрезка $BF$, то есть $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DE$.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти: Расстояние от точки B до прямой DE.

Решение:

Поскольку точки B и прямая DE принадлежат плоскости нижнего основания призмы (плоскости ABCDEF), расстояние от точки B до прямой DE является расстоянием в этой плоскости. Высота призмы не влияет на данное расстояние.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a = 1$.

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. В данном случае, сторона AB параллельна стороне DE ($AB \parallel DE$).

Точка B лежит на прямой AB.

Расстояние от точки B до прямой DE равно перпендикулярному расстоянию между параллельными прямыми AB и DE.

Расстояние между двумя параллельными сторонами правильного шестиугольника равно удвоенной апофеме шестиугольника.

Апофема $h_a$ правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $h_a = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку сторона шестиугольника $a = 1$, апофема равна $h_a = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Расстояние между параллельными сторонами AB и DE равно $2 \cdot h_a = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Таким образом, расстояние от точки B до прямой DE равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

28. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $EE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки B до прямой $EE_1$.

Решение

В правильной шестиугольной призме боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Прямая $EE_1$ является одним из боковых ребер, а точка B лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Поскольку прямая $EE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$, а отрезок $BE$ лежит в этой плоскости (так как B и E - вершины основания), то отрезок $BE$ перпендикулярен прямой $EE_1$. Следовательно, длина отрезка $BE$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим нижнее основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Длина всех его сторон равна $1$. Вершины B и E являются противоположными вершинами в этом шестиугольнике (через центр шестиугольника). Диагональ, соединяющая противоположные вершины в правильном шестиугольнике (такая как $BE$), называется большой диагональю.

Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Если длина стороны шестиугольника $a$, то длина большой диагонали $d = 2a$.

В данном случае, длина стороны шестиугольника $a = 1$.

Следовательно, длина диагонали $BE$ будет:

$BE = 2 \cdot a = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, расстояние от точки B до прямой $EE_1$ равно $2$.

Ответ:

Расстояние от точки B до прямой $EE_1$ равно $2$.

29. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:
Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:
Расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$.

Решение:
Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ можно найти, построив прямоугольный треугольник.

1.Расположение точки и прямой.
Точка $B$ находится в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $E_1F_1$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Плоскости оснований параллельны друг другу.

2.Проекция точки $B$ на плоскость верхнего основания.
Так как призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ортогональной проекцией точки $B$ на плоскость верхнего основания является точка $B_1$. Длина отрезка $BB_1$ равна высоте призмы, которая, по условию задачи, равна 1. То есть, $BB_1 = 1$.

3.Расстояние от точки $B_1$ до прямой $E_1F_1$ в плоскости верхнего основания.
Рассмотрим верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, которое является правильным шестиугольником со стороной, равной $a=1$. Нам нужно найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $E_1F_1$.
Для удобства введем систему координат с началом в центре шестиугольника $O_1$. Пусть ось X проходит через $A_1=(1,0)$. Тогда координаты вершин будут:
$A_1 = (1, 0)$
$B_1 = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ)) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$C_1 = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ)) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
$D_1 = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ)) = (-1, 0)$
$E_1 = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ)) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
$F_1 = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ)) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
Прямая $E_1F_1$ является горизонтальной линией, проходящей через точки $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. Ее уравнение: $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Точка $B_1$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Расстояние от точки $(x_0, y_0)$ до горизонтальной прямой $y=c$ равно $|y_0 - c|$.
Расстояние от $B_1$ до прямой $E_1F_1$ (обозначим его $d_{B_1P_1}$) будет:
$d_{B_1P_1} = |\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2})| = |\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}| = |\sqrt{3}| = \sqrt{3}$.
Пусть $P_1$ - это точка на прямой $E_1F_1$, ближайшая к $B_1$. Тогда $B_1P_1 = \sqrt{3}$.

4.Вычисление искомого расстояния.
Отрезок $BB_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания, а следовательно, перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая отрезок $B_1P_1$.
Таким образом, треугольник $BB_1P_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.
Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $E_1F_1$ - это длина гипотенузы $BP_1$ этого треугольника.
Применяем теорему Пифагора:
$BP_1^2 = BB_1^2 + B_1P_1^2$
$BP_1^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$
$BP_1^2 = 1 + 3$
$BP_1^2 = 4$
$BP_1 = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:
2

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$.

Решение:Для решения задачи воспользуемся методом координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная шестиугольная и длина всех ребер равна 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр находится в начале координат и $A$ на оси $Ox$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату равную 1.

Точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точки $D_1$ и $E_1$ верхнего основания:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $D_1E_1$, можно использовать следующую стратегию:1. Найдем координаты проекции точки $B$ на плоскость, содержащую прямую $D_1E_1$. Плоскость верхнего основания ($z=1$) содержит прямую $D_1E_1$. Проекцией точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на эту плоскость будет точка $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.2. Найдем расстояние от точки $B_1$ до прямой $D_1E_1$ в плоскости $z=1$. Обозначим это расстояние $d'$.3. Искомое расстояние $d$ от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ будет гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного точками $B$, $B_1$ и точкой $L$ на прямой $D_1E_1$ такой, что $B_1L$ перпендикулярно $D_1E_1$. Катеты этого треугольника будут $BB_1$ (высота призмы) и $B_1L=d'$.

Шаг 1: Проекция точки $B$ на плоскость $z=1$ — это точка $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Высота $BB_1 = 1$.

Шаг 2: Найдем расстояние от $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ до прямой, проходящей через $D_1(-1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Для этого работаем в 2D-плоскости, убрав $z$-координату:

Точки: $B_1'(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $D_1'(-1, 0)$, $E_1'(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем уравнение прямой, проходящей через $D_1'$ и $E_1'$.

Угловой коэффициент $k = \frac{y_{E_1'} - y_{D_1'}}{x_{E_1'} - x_{D_1'}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$.

Уравнение прямой (используя точку $D_1'$): $y - y_{D_1'} = k(x - x_{D_1'})$

$y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1))$

$y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}$

Перепишем в общий вид $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние $d'$ от точки $B_1'(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$ вычисляется по формуле:

$d' = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$d' = \frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}}$

$d' = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d' = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d' = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Шаг 3: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $BB_1 = 1$ и $B_1L = d' = \sqrt{3}$. Искомое расстояние $d$ от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$d^2 = BB_1^2 + (d')^2$

$d^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$d^2 = 1 + 3$

$d^2 = 4$

$d = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:

2