Номер 30, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1E_1$.

Решение:Для решения задачи воспользуемся методом координат. Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная шестиугольная и длина всех ребер равна 1, то длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, если центр находится в начале координат и $A$ на оси $Ox$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь $z$-координату равную 1.

Точка $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Точки $D_1$ и $E_1$ верхнего основания:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $D_1E_1$, можно использовать следующую стратегию:1. Найдем координаты проекции точки $B$ на плоскость, содержащую прямую $D_1E_1$. Плоскость верхнего основания ($z=1$) содержит прямую $D_1E_1$. Проекцией точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на эту плоскость будет точка $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.2. Найдем расстояние от точки $B_1$ до прямой $D_1E_1$ в плоскости $z=1$. Обозначим это расстояние $d'$.3. Искомое расстояние $d$ от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ будет гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного точками $B$, $B_1$ и точкой $L$ на прямой $D_1E_1$ такой, что $B_1L$ перпендикулярно $D_1E_1$. Катеты этого треугольника будут $BB_1$ (высота призмы) и $B_1L=d'$.

Шаг 1: Проекция точки $B$ на плоскость $z=1$ — это точка $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Высота $BB_1 = 1$.

Шаг 2: Найдем расстояние от $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ до прямой, проходящей через $D_1(-1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$. Для этого работаем в 2D-плоскости, убрав $z$-координату:

Точки: $B_1'(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $D_1'(-1, 0)$, $E_1'(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем уравнение прямой, проходящей через $D_1'$ и $E_1'$.

Угловой коэффициент $k = \frac{y_{E_1'} - y_{D_1'}}{x_{E_1'} - x_{D_1'}} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0}{-\frac{1}{2} - (-1)} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$.

Уравнение прямой (используя точку $D_1'$): $y - y_{D_1'} = k(x - x_{D_1'})$

$y - 0 = -\sqrt{3}(x - (-1))$

$y = -\sqrt{3}x - \sqrt{3}$

Перепишем в общий вид $Ax + By + C = 0$: $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$.

Расстояние $d'$ от точки $B_1'(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ до прямой $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3} = 0$ вычисляется по формуле:

$d' = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$d' = \frac{|\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}}$

$d' = \frac{|\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1}}$

$d' = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4}}$

$d' = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Шаг 3: Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с катетами $BB_1 = 1$ и $B_1L = d' = \sqrt{3}$. Искомое расстояние $d$ от точки $B$ до прямой $D_1E_1$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора:

$d^2 = BB_1^2 + (d')^2$

$d^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$

$d^2 = 1 + 3$

$d^2 = 4$

$d = \sqrt{4} = 2$.

Ответ:

2