Номер 35, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны.

Пусть длина каждого ребра равна $a$.

Перевод в систему СИ:

Данных для перевода в систему СИ нет, так как все величины заданы в общем виде (через $a$).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$.

Решение:

Поскольку призма является правильной и все ее ребра равны $a$, основание призмы $ABCDEF$ представляет собой правильный шестиугольник со стороной $a$. Прямая $AD$ лежит в плоскости этого основания.

В правильном шестиугольнике сторона $AB = a$. Диагональ $AD$ является большой диагональю и проходит через центр шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, то есть $AD = 2a$.

Рассмотрим треугольник $ABD$, вершины которого лежат в плоскости основания. Его стороны, которые мы знаем или можем легко найти, это $AB = a$ и $AD = 2a$. Сторона $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника.

Найдем длину малой диагонали $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BCD$. Его стороны $BC = a$ и $CD = a$. Угол между смежными сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle BCD = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $BCD$ получаем:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

Подставляем известные значения:

$BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$:

$BD^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2$

Таким образом, длина малой диагонали $BD = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $ABD$: $AB = a$, $AD = 2a$, $BD = a\sqrt{3}$.

Проверим, является ли треугольник $ABD$ прямоугольным, используя теорему Пифагора. Для этого сравним сумму квадратов двух коротких сторон с квадратом самой длинной стороны:

$AB^2 + BD^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

Квадрат самой длинной стороны $AD$ равен:

$AD^2 = (2a)^2 = 4a^2$

Так как $AB^2 + BD^2 = AD^2$, то по обратной теореме Пифагора треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABD = 90^\circ$). Это означает, что отрезок $BD$ перпендикулярен отрезку $AB$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ — это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$ в прямоугольном треугольнике $ABD$. Пусть эта высота равна $h$.

Площадь прямоугольного треугольника $ABD$ может быть найдена двумя способами:

1. Как половина произведения катетов: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

2. Как половина произведения гипотенузы на высоту, опущенную на нее: $S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot h = a \cdot h$.

Приравниваем оба выражения для площади, так как они относятся к одному и тому же треугольнику:

$a \cdot h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти $h$, разделим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ - длина ребра, $a \ne 0$):

$h = \frac{a^2\sqrt{3}}{2a} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AD$ равно $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.