Номер 2, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$, обозначим как $d(B, AB_1C_1)$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $C = (1,1,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $B_1 = (1,0,1)$
• $C_1 = (1,1,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Найдем уравнение плоскости $AB_1C_1$. Для этого используем три точки, лежащие в этой плоскости: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение этих двух векторов:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - 0)$

$\vec{n} = -1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, 0, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормального вектора: $-1x + 0y + 1z + D = 0$, или $-x + z + D = 0$.

Так как плоскость проходит через точку $A(0,0,0)$, подставим ее координаты в уравнение:

$-(0) + (0) + D = 0 \implies D = 0$.

Таким образом, уравнение плоскости $AB_1C_1$ есть $-x + z = 0$, или $x - z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x - z = 0$. Используем формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$, а уравнение плоскости $1x + 0y - 1z + 0 = 0$, то есть $A=1$, $B=0$, $C=-1$, $D=0$.

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 0 + 1}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1|}{\sqrt{2}}$

$d(B, AB_1C_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.