Номер 2, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков


Авторы: Смирнов В. А., Туяков Е. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1146-4
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Обобщающее повторение. Расстояние от точки до плоскости - номер 2, страница 159.
№2 (с. 159)
Условие. №2 (с. 159)

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$.
3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$
Решение. №2 (с. 159)

Решение 2 (rus). №2 (с. 159)
Дано
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Перевод в СИ
Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).
Найти
Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$, обозначим как $d(B, AB_1C_1)$.
Решение
Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:
- $A = (0,0,0)$
- $B = (1,0,0)$
- $C = (1,1,0)$
- $D = (0,1,0)$
- $A_1 = (0,0,1)$
- $B_1 = (1,0,1)$
- $C_1 = (1,1,1)$
- $D_1 = (0,1,1)$
Найдем уравнение плоскости $AB_1C_1$. Для этого используем три точки, лежащие в этой плоскости: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.
Найдем два вектора, лежащих в плоскости:
Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.
Вектор $\vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.
Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости можно найти как векторное произведение этих двух векторов:
$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$
$\vec{n} = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - 0)$
$\vec{n} = -1\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, 0, 1)$.
Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормального вектора: $-1x + 0y + 1z + D = 0$, или $-x + z + D = 0$.
Так как плоскость проходит через точку $A(0,0,0)$, подставим ее координаты в уравнение:
$-(0) + (0) + D = 0 \implies D = 0$.
Таким образом, уравнение плоскости $AB_1C_1$ есть $-x + z = 0$, или $x - z = 0$.
Теперь найдем расстояние от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x - z = 0$. Используем формулу для расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
В нашем случае $(x_0, y_0, z_0) = (1,0,0)$, а уравнение плоскости $1x + 0y - 1z + 0 = 0$, то есть $A=1$, $B=0$, $C=-1$, $D=0$.
$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}}$
$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 0 + 1}}$
$d(B, AB_1C_1) = \frac{|1|}{\sqrt{2}}$
$d(B, AB_1C_1) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ:
Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 159 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №2 (с. 159), авторов: Смирнов (Виктор Анатольевич), Туяков (Есенкельды Алыбаевич), учебного пособия издательства Мектеп.