Номер 33, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC$.

Дано:

Призма: правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер: $a = 1$.

Перевод в СИ: Поскольку все ребра призмы равны 1, и в условии задачи не указаны конкретные единицы измерения, считаем, что длина ребра равна 1 условной единице (ед.). Все дальнейшие вычисления будут производиться в этих условных единицах, и ответ будет также представлен в них.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$, то есть $d(B, AC)$.

Решение:

Рассмотрим нижнее основание призмы $ABCDEF$. Оно представляет собой правильный шестиугольник со стороной, равной длине ребра призмы, то есть $AB = BC = 1$.

В правильном шестиугольнике каждый внутренний угол равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Точка $B$ и прямая $AC$ лежат в одной плоскости – плоскости основания $ABCDEF$. Расстояние от точки до прямой в плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Пусть $H$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $AC$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равнобедренным, так как $AB = BC = 1$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - \angle ABC) / 2 = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $BHC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BC = 1$, а угол $\angle BCH = 30^\circ$.

Длина катета $BH$, противолежащего углу $BCH$, может быть найдена с помощью синуса: $BH = BC \cdot \sin(\angle BCH)$ $BH = 1 \cdot \sin(30^\circ)$ $BH = 1 \cdot \frac{1}{2}$ $BH = 0.5$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ составляет $0.5$ условных единиц.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ равно $0.5$.