Номер 32, страница 159 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $CE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1. Это означает, что длина стороны основания правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CE$.

Решение:

Рассмотрим нижнее основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Все точки $B$, $C$, $E$ лежат в плоскости этого основания.

Определим длины сторон треугольника $BCE$:

1. $BC$ - это ребро шестиугольника, его длина равна $a=1$.

2. $CE$ - это малая диагональ правильного шестиугольника (соединяет вершины, между которыми находится одна другая вершина, например, $C$ и $E$ через $D$). Длина малой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $CE = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

3. $BE$ - это большая диагональ правильного шестиугольника (соединяет противоположные вершины и проходит через центр шестиугольника). Длина большой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, треугольник $BCE$ имеет стороны с длинами $BC=1$, $CE=\sqrt{3}$, $BE=2$.

Проверим, является ли треугольник $BCE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$ для его сторон:

$BC^2 + CE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Поскольку $BC^2 + CE^2 = BE^2$, треугольник $BCE$ является прямоугольным, и прямой угол находится напротив самой длинной стороны $BE$, то есть $\angle BCE = 90^\circ$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Поскольку отрезок $BC$ перпендикулярен прямой $CE$ (угол $\angle BCE = 90^\circ$), то длина отрезка $BC$ и является искомым расстоянием.

Длина отрезка $BC$ равна 1, так как это ребро правильного шестиугольника.

Ответ:

1