Номер 25, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все рёбра призмы равны 1.

В данном случае, все длины уже даны в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение:

1. Рассмотрим основание данной призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. По условию задачи, все рёбра призмы равны 1. Это означает, что длина каждой стороны шестиугольника, включая $AB$ и $AF$, равна 1. Высота призмы также равна 1, но это не влияет на решение данной задачи, так как точка $B$ и прямая $AF$ лежат в одной плоскости основания $ABCDEF$.
Задача сводится к нахождению расстояния от вершины $B$ до прямой, содержащей сторону $AF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$.

2. В правильном шестиугольнике каждый внутренний угол равен $\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$, где $n=6$ — количество сторон. Таким образом, внутренний угол равен $\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.
Следовательно, угол $\angle FAB$ (угол между сторонами $FA$ и $AB$) в шестиугольнике $ABCDEF$ равен $120^\circ$.

3. Чтобы найти расстояние от точки $B$ до прямой $AF$, необходимо опустить перпендикуляр из точки $B$ на прямую $AF$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.
Поскольку угол $\angle FAB = 120^\circ$ является тупым, основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $FA$ за точку $A$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. Угол $\angle BAH$ является смежным с углом $\angle FAB$.
Следовательно, $\angle BAH = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABH$:
Длина гипотенузы $AB = 1$ (это сторона правильного шестиугольника).
Мы ищем длину катета $BH$, который является противолежащим углу $\angle BAH$.
Используем определение синуса: $\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$.
Отсюда выразим $BH$: $BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$.
Подставляем известные значения: $BH = 1 \cdot \sin(60^\circ)$.
Известно, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ составляет $\frac{\sqrt{3}}{2}$.