Номер 24, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ...

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер равны $1$, то есть $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$ (стороны основания) и $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$ (боковые ребра).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $BCB_1$.

Так как призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $B$, в том числе прямой $BC$.

Таким образом, треугольник $BCB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle CBB_1 = 90^\circ$.

Длины катетов этого треугольника известны из условия задачи:

$BC = 1$ (сторона основания)

$BB_1 = 1$ (боковое ребро)

Найдем длину гипотенузы $CB_1$ по теореме Пифагора:

$CB_1^2 = BC^2 + BB_1^2$

$CB_1^2 = 1^2 + 1^2$

$CB_1^2 = 1 + 1$

$CB_1^2 = 2$

$CB_1 = \sqrt{2}$

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $CB_1$. Пусть $BH$ — этот перпендикуляр, где $H$ — точка на $CB_1$ такая, что $BH \perp CB_1$.

Площадь прямоугольного треугольника $BCB_1$ может быть выражена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1$

2. Через гипотенузу и высоту, опущенную на нее: $S = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot BH$

Приравнивая эти два выражения для площади, получим:

$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot BB_1 = \frac{1}{2} \cdot CB_1 \cdot BH$

$BC \cdot BB_1 = CB_1 \cdot BH$

Подставим известные значения:

$1 \cdot 1 = \sqrt{2} \cdot BH$

$1 = \sqrt{2} \cdot BH$

Отсюда выразим $BH$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$BH = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.