Номер 21, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Сторона основания $a = 1$ (единица длины).
Боковое ребро $l = 2$ (единицы длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AF$.

Решение:

Поскольку точки $B$ и $A$, а также прямая $AF$ лежат в плоскости основания пирамиды, задача сводится к нахождению расстояния от точки до прямой в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Информация о боковых рёбрах пирамиды и её высоте является избыточной для решения данной задачи.

В правильном шестиугольнике все стороны равны между собой. Следовательно, длины сторон $AB$ и $AF$ равны $1$.

Угол между двумя соседними сторонами правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle FAB = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABF$. Это равнобедренный треугольник, у которого $AB = 1$, $AF = 1$ и угол между этими сторонами $\angle FAB = 120^\circ$.

Найдем площадь треугольника $ABF$ по формуле площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AF \cdot \sin(\angle FAB)$ $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(120^\circ)$

Так как $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Пусть $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до прямой $AF$. Это расстояние представляет собой высоту треугольника $ABF$, опущенную из вершины $B$ на сторону $AF$. Площадь треугольника также можно выразить по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $S_{ABF} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot h$

Подставим найденное значение площади и длину стороны $AF$: $\frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot h$

Чтобы найти $h$, умножим обе части уравнения на $2$: $h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $AF$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$