Номер 19, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки S до прямой AC.

20. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основы

Дано:

Пирамида $SABCD$ — правильная четырехугольная.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=1$, $SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AC$.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат $ABCD$, а вершина $S$ проецируется в центр основания. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$. Тогда $O$ является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. В данном случае нам нужно найти длину отрезка $SH$, где $H$ — точка на прямой $AC$ такая, что $SH \perp AC$.

Рассмотрим треугольник $SAC$. Поскольку все ребра пирамиды равны 1, то $SA=SC=1$. Следовательно, треугольник $SAC$ является равнобедренным.

Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ со стороной $a=1$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 1^2 + 1^2$

$AC^2 = 1 + 1$

$AC^2 = 2$

$AC = \sqrt{2}$

Точка $O$ является центром квадрата, поэтому она является серединой диагонали $AC$.

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

В правильной пирамиде высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $O$. В частности, $SO \perp AC$.

Таким образом, отрезок $SO$ является высотой, опущенной из вершины $S$ на прямую $AC$ в треугольнике $SAC$. Это и есть искомое расстояние.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$ (угол $SOA$ равен $90^\circ$).

По теореме Пифагора:

$SO^2 + AO^2 = SA^2$

Мы знаем $SA=1$ и $AO = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения:

$SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2$

$SO^2 + \frac{2}{4} = 1$

$SO^2 + \frac{1}{2} = 1$

$SO^2 = 1 - \frac{1}{2}$

$SO^2 = \frac{1}{2}$

$SO = \sqrt{\frac{1}{2}}$

$SO = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$SO = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $S$ до прямой $AC$ составляет $\frac{\sqrt{2}}{2}$.