Номер 26, страница 158 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $FE$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $FE$.

Решение:

Рассмотрим основание призмы - правильный шестиугольник $ABCDEF$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, то длина стороны шестиугольника $AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$, а также высота призмы $AA_1 = BB_1 = \dots = 1$.

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $FE$, лежащих в одной плоскости (плоскости основания), достаточно рассмотреть геометрические свойства правильного шестиугольника.

Соединим точку $B$ с точками $F$ и $E$. Получим треугольник $BFE$.

Длины сторон этого треугольника:

Сторона $FE$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $FE = 1$.

Сторона $BF$ является малой диагональю правильного шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Сторона $BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a = 1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим, является ли треугольник $BFE$ прямоугольным, используя теорему Пифагора. Если $FE^2 + BF^2 = BE^2$, то угол $F$ прямой.

$1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.

$BE^2 = 2^2 = 4$.

Так как $FE^2 + BF^2 = BE^2$, треугольник $BFE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поскольку $BF \perp FE$ (угол $F$ прямой), то отрезок $BF$ является искомым расстоянием.

Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $FE$ равно длине отрезка $BF$, то есть $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$