Номер 12, страница 157 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$.

Решение:

1. Поскольку призма является правильной треугольной, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ - равносторонние треугольники, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Все ребра призмы равны 1.

Это означает, что длина каждого ребра призмы, включая стороны оснований и боковые ребра, равна 1. То есть, $AB = BC = CA = A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = 1$, и высота призмы $BB_1 = 1$.

2. Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ необходимо построить перпендикуляр из точки $B$ к прямой $A_1C_1$ и найти его длину.

3. Рассмотрим основание $A_1B_1C_1$. Пусть $M$ - середина ребра $A_1C_1$. Так как треугольник $A_1B_1C_1$ является равносторонним, отрезок $B_1M$ является его высотой (и медианой), проведенной к $A_1C_1$. Следовательно, $B_1M \perp A_1C_1$.

4. Длина высоты $B_1M$ равностороннего треугольника со стороной $a=1$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $B_1M = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

5. Так как призма правильная, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе $BB_1 \perp A_1C_1$.

6. Мы имеем, что прямая $A_1C_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B_1M$ (пункт 3) и $BB_1$ (пункт 5), которые лежат в плоскости $BB_1M$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$.

7. Поскольку прямая $A_1C_1$ перпендикулярна плоскости $BB_1M$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и пересекающей $A_1C_1$. В частности, прямая $A_1C_1$ перпендикулярна отрезку $BM$.

8. Таким образом, искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1C_1$ равно длине отрезка $BM$.

9. Рассмотрим треугольник $BB_1M$. Он является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$, так как $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, содержащей $B_1M$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BB_1M$: $BM^2 = BB_1^2 + B_1M^2$

Подставим известные значения $BB_1 = 1$ и $B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $BM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$ $BM^2 = 1 + \frac{3}{4}$ $BM^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$ $BM^2 = \frac{7}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $BM$: $BM = \sqrt{\frac{7}{4}}$ $BM = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ $BM = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{2}$