Страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите косинус угла $ABE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная. Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$. Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:

В данной задаче все линейные размеры представлены в относительных единицах, равных 1. Поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра $a = 1$.

Найти:

$\cos(\angle ABE)$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла $ABE$ воспользуемся методом координат. Расположим основание пирамиды $ABCD$ в плоскости $Oxy$ так, чтобы центр основания $O$ совпадал с началом координат $(0,0,0)$. Так как пирамида правильная четырехугольная и все ребра равны 1, то основание $ABCD$ - это квадрат со стороной $a=1$. Координаты вершин основания: $A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ $B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ $C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ $D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Вершина $S$ находится над центром основания $O$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($O$ - центр основания), $OA$ - это половина диагонали основания $AC$. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Из теоремы Пифагора для $\triangle SOA$: $SO^2 = SA^2 - OA^2$. $h^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат $S$ и $C$: $E = (\frac{S_x+C_x}{2}, \frac{S_y+C_y}{2}, \frac{S_z+C_z}{2})$ $E = (\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Теперь найдем векторы, образующие угол $ABE$: $\vec{BA}$ и $\vec{BE}$. Координаты точки $B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Координаты точки $A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Вектор $\vec{BA} = A - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 0 - 0) = (-1, 0, 0)$. Длина вектора $|\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

Координаты точки $E = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$. Вектор $\vec{BE} = E - B = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0)$ $\vec{BE} = (\frac{1-2}{4}, \frac{1+2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}) = (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$. Длина вектора $|\vec{BE}| = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{BA} \cdot \vec{BE} = (-1)(-\frac{1}{4}) + (0)(\frac{3}{4}) + (0)(\frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{1}{4} + 0 + 0 = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle ABE) = \frac{\frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\cos(\angle ABE) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SD$.

Найдите косинус угла $BEF$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра пирамиды равны 1: $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Точка $F$ - середина ребра $SD$.

Все данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла $BEF$.

Решение:

1. Найдем длины сторон треугольника $BEF$.

Сторона $EF$: Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $SC$ и $SD$ соответственно. Треугольник $SCD$ является одной из боковых граней пирамиды. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $SC = SD = CD = 1$. Следовательно, треугольник $SCD$ - равносторонний. $EF$ является средней линией треугольника $SCD$. По свойству средней линии, $EF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Сторона $BE$: Рассмотрим треугольник $BSC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $BS = SC = BC = 1$. Следовательно, треугольник $BSC$ - равносторонний. $BE$ является медианой, проведенной к стороне $SC$ в равностороннем треугольнике $BSC$. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $BE = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $BF$: Рассмотрим треугольник $BSD$. Стороны этого треугольника: $BS = 1$ (ребро пирамиды), $SD = 1$ (ребро пирамиды). Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Основание $ABCD$ - квадрат со стороной 1. Длина диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Теперь у нас есть треугольник $BSD$ со сторонами $BS=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$. Проверим тип треугольника $BSD$: $BS^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. $BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $BS^2 + SD^2 = BD^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $BSD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle BSD = 90^\circ$).

$BF$ является медианой, проведенной к стороне $SD$ в треугольнике $BSD$. Для нахождения длины $BF$ воспользуемся теоремой косинусов в $\triangle BSD$, зная, что $F$ - середина $SD$: $SF = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

$BF^2 = BS^2 + SF^2 - 2 \cdot BS \cdot SF \cdot \cos(\angle BSF)$.

Так как $\angle BSF = \angle BSD = 90^\circ$, то $\cos(\angle BSF) = \cos(90^\circ) = 0$.

$BF^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 + \frac{1}{4} - 0 = \frac{5}{4}$.

Таким образом, $BF = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Теперь, когда известны все три стороны треугольника $BEF$, найдем косинус угла $BEF$ с помощью теоремы косинусов:

$\cos(\angle BEF) = \frac{BE^2 + EF^2 - BF^2}{2 \cdot BE \cdot EF}$

Подставим найденные значения:

$BE^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$EF^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$BF^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{\frac{4}{4} - \frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ:

$-\frac{\sqrt{3}}{6}$

14. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SB$. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ — правильная четырехугольная. Все ребра равны 1. То есть $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$. Точка $E$ — середина ребра $SC$. Точка $F$ — середина ребра $SB$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат. Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной 1. Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра основания до любой вершины основания равно $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Разместим вершины основания следующим образом: $A=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $B=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $C=\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $D=\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ Проверим длину стороны, например $AB$: $AB = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{(-1)^2+0+0} = 1$. Это верно. Вершина $S$ находится на оси $Oz$, так как пирамида правильная, то $S=(0,0,h)$. Длина бокового ребра $SA=1$. Расстояние от $S(0,0,h)$ до $A(1/2,1/2,0)$ равно 1. $SA^2 = \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{2}-0\right)^2 + (0-h)^2 = 1^2$ $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + h^2 = 1$ $\frac{1}{2} + h^2 = 1$ $h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (положительное значение, так как вершина выше основания). Таким образом, координаты вершин: $A = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $B = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ $C = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$ $S = \left(0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Найдем координаты точек $E$ и $F$. Точка $E$ — середина ребра $SC$. Координаты $E$ находятся как среднее арифметическое координат $S$ и $C$: $E = \left(\frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$. Точка $F$ — середина ребра $SB$. Координаты $F$ находятся как среднее арифметическое координат $S$ и $B$: $F = \left(\frac{0+\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AF$ и $BE$. Вектор $\vec{AF}$ имеет координаты $F-A$: $\vec{AF} = \left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{3}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$. Вектор $\vec{BE}$ имеет координаты $E-B$: $\vec{BE} = \left(-\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right), -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4}, -\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$: $\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(\frac{1}{4}\right) + \left(-\frac{1}{4}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$ $= -\frac{3}{16} + \frac{3}{16} + \frac{2}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$: $|\vec{AF}|^2 = \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} + \frac{2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $|\vec{AF}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $|\vec{BE}|^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. $|\vec{BE}| = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$ вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{BE}}{|\vec{AF}| |\vec{BE}|}$. $\cos \theta = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Ответ:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$ равен $\frac{1}{6}$.

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E$, $F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SD$. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер пирамиды равна $1$. То есть $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SC$ и $SD$ соответственно.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AF$ и $BE$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Расположим центр основания пирамиды $ABCD$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Сторона основания $a=1$. Высота пирамиды $SO=h$.

Координаты вершин основания:

$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Треугольник $SOA$ — прямоугольный, где $SA=1$, а $OA$ — половина диагонали основания. Диагональ основания $AC = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.

Тогда $OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из теоремы Пифагора для $\triangle SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2$

$1^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$

$1 = h^2 + \frac{2}{4}$

$1 = h^2 + \frac{1}{2}$

$h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Точки $E$ и $F$ — середины ребер $SC$ и $SD$ соответственно. Используем формулу для координат середины отрезка:

Координаты $E$ (середина $SC$):

$E = \left(\frac{x_S+x_C}{2}, \frac{y_S+y_C}{2}, \frac{z_S+z_C}{2}\right) = \left(\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Координаты $F$ (середина $SD$):

$F = \left(\frac{x_S+x_D}{2}, \frac{y_S+y_D}{2}, \frac{z_S+z_D}{2}\right) = \left(\frac{0-\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Найдем векторы $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$.

Вектор $\vec{AF}$:

$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$F = (-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

$\vec{AF} = \left(-\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(-\frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Вектор $\vec{BE}$:

$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$

$E = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

$\vec{BE} = \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0\right) = \left(\frac{1}{4} - \frac{2}{4}, \frac{1}{4} + \frac{2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \left(-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \left(\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

$ = -\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{-1+9+2}{16} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$

Найдем длины (модули) векторов $\vec{AF}$ и $\vec{BE}$:

$||\vec{AF}|| = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$||\vec{BE}|| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Косинус угла $\theta$ между прямыми $AF$ и $BE$ равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами:

$\cos \theta = \frac{|\vec{AF} \cdot \vec{BE}|}{||\vec{AF}|| \cdot ||\vec{BE}||}$

Так как $\vec{AF} \cdot \vec{BE} = \frac{5}{8} > 0$, модуль не требуется.

$\cos \theta = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

Ответ:

$\frac{5}{6}$

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Это означает, что сторона основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$, т.е. $\cos(\angle(DE, BF_1))$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя скрещивающимися прямыми, используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны 1, то радиус описанной окружности вокруг основания шестиугольника также равен 1. Вершины основания можно задать следующим образом:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координата будет равна высоте призмы, т.е. 1.

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $DE$ и $BF_1$.

Вектор $\vec{DE}$: координаты точки $E$ минус координаты точки $D$.

$\vec{DE} = E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{BF_1}$: координаты точки $F_1$ минус координаты точки $B$.

$\vec{BF_1} = F_1 - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{DE}$ и $\vec{BF_1}$:

$\vec{DE} \cdot \vec{BF_1} = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})/2 + 0 = 3/2$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{DE}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$

(Это логично, так как $DE$ - это ребро шестиугольника, и его длина равна 1).

$|\vec{BF_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{3/2}{1 \cdot 2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$ равен $3/4$.

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CD_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a = 1$. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ воспользуемся методом координат.

Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (т.е. перпендикулярно плоскости основания) вверх.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (a, 0, 0) = (1, 0, 0)$
• $B = (a \cos(\pi/3), a \sin(\pi/3), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (a \cos(2\pi/3), a \sin(2\pi/3), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (a \cos(\pi), a \sin(\pi), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате соответствующих вершин нижнего основания:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

• Вектор $\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Вектор $\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим модули этих векторов:

• $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.
• $|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD_1} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = 1/4 - 3/4 + 0 = -2/4 = -1/2$.

Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\cos \theta = \frac{-1/2}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$.

По определению, угол между двумя прямыми (даже если они скрещивающиеся) обычно считается наименьшим неотрицательным углом, т.е. он лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если скалярное произведение векторов дает отрицательный результат, это означает, что угол между самими векторами тупой. Для нахождения косинуса угла между прямыми берется абсолютное значение полученного косинуса.

$\cos \phi = |\cos \theta| = \left| \frac{-\sqrt{2}}{4} \right| = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CE_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой. Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CE_1$.

Решение

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$. Координаты вершин нижнего основания (приняв A на оси X):

$A = (1, 0, 0)$
$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате:

$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$
$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем векторы, задающие направления прямых $AB$ и $CE_1$.

Вектор $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{CE_1}$:
$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CE_1}$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CE_1} = (-1/2)(0) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 - 3/2 + 0 = -3/2$

Вычислим длины (модули) векторов:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$
$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем косинус угла между этими векторами:
$\cos \theta = \frac{-3/2}{1 \cdot 2} = -3/4$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым углом, поэтому косинус угла между прямыми берется по модулю:
$\cos \alpha = |\cos \theta| = |-3/4| = 3/4$

Ответ:

$3/4$

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $DF$ и $CE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:

Косинус угла между прямыми DF и CE₁.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1. Зададим систему координат.

Разместим центр нижнего основания (шестиугольника ABCDEF) в начале координат $O(0, 0, 0)$. Ориентируем шестиугольник так, чтобы вершина A лежала на положительной полуоси OX. Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

• A: $(1, 0, 0)$

• B: $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• C: $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• D: $(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• E: $(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• F: $(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания. Нам нужны следующие точки:

• C: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• D: $(-1, 0, 0)$

• E₁: $(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2. Найдем векторы, направляющие прямые DF и CE₁.

Вектор $\vec{DF}$ можно найти как разность координат точки F и точки D:

$\vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{CE_1}$ можно найти как разность координат точки E₁ и точки C:

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CE_1}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_u, y_u, z_u)$ и $\vec{v}=(x_v, y_v, z_v)$ равно $x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = (3/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1$

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot \sqrt{3} + 0$

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = 3/2$

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CE_1}$.

Длина вектора $\vec{u}=(x_u, y_u, z_u)$ равна $\sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.

$|\vec{DF}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2}$

$|\vec{DF}| = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}$

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

5. Найдем косинус угла между прямыми.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Подставим найденные значения:

$\cos \theta = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot 2}$

$\cos \theta = \frac{3/2}{2\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми DF и CE₁ равен $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.

20. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямыми $DF$ и $CF_1$.

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$.

Все рёбра равны $1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Синус угла между прямыми $DF$ и $CF_1$, т.е. $\sin(\angle(DF, CF_1))$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания (плоскость $z=0$):

$A=(1, 0, 0)$

$B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(-1, 0, 0)$

$E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Высота призмы $h=1$, поэтому координаты вершин верхнего основания (плоскость $z=1$) будут иметь такие же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координату равную $1$.

Нам нужны координаты точек $D, F, C, F_1$:

$D=(-1, 0, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F_1=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $DF$ и $CF_1$.

Вектор $\vec{DF}$:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вектор $\vec{CF_1}$:

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Найдем длины (модули) этих векторов:

$|\vec{DF}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$

$|\vec{CF_1}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{DF} \cdot \vec{CF_1} = (\frac{3}{2})(1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(-\sqrt{3}) + (0)(1) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 0 = 3$

Косинус угла $\alpha$ между двумя прямыми (векторами) $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ (используем абсолютное значение, так как угол между прямыми является острым)

$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель:

$\cos \alpha = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Теперь найдем синус угла $\alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{15}{25} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Так как $\alpha$ - угол между прямыми, он должен быть в диапазоне $[0, \frac{\pi}{2}]$, поэтому $\sin \alpha \ge 0$.

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{5}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

21. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DE_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная призма.

Длина всех ребер $a = 1$.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (длина является безразмерной единицей, используемой для расчетов).

Найти:

Косинус угла между прямыми $AC$ и $DE_1$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между прямыми $AC$ и $DE_1$ воспользуемся координатным методом.

Расположим правильную шестиугольную призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как длина всех ребер призмы равна 1, то сторона правильного шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (z-координата равна высоте $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем координаты векторов, направляющих прямые $AC$ и $DE_1$.

Вектор $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{DE_1}$:

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DE_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DE_1} = (-3/2)(1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = -3/4 - 3/4 + 0 = -6/4 = -3/2$

Вычислим длины векторов:

Длина вектора $\vec{AC}$:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$

Длина вектора $\vec{DE_1}$:

$|\vec{DE_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла между прямыми. Поскольку угол между прямыми принято считать острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), мы возьмем абсолютное значение косинуса.

$\cos \theta = \left| \frac{-3/2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \right| = \left| \frac{-3/2}{\sqrt{6}} \right| = \left| \frac{-3}{2\sqrt{6}} \right|$

$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{6}}$

Удалим иррациональность из знаменателя, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

21.Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

22. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

(Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны и все длины являются безразмерными величинами или находятся в одной системе единиц).

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим призму в декартовой системе координат.Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.Так как призма правильная, ее основания — правильные шестиугольники, а боковые грани — прямоугольники. Все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a$ и центром в начале координат:

$A = (a, 0, 0)$

$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0)$

$C = (a \cos(120^\circ), a \sin(120^\circ), 0)$

В нашем случае $a=1$. Тогда:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot (-1/2), 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь z-координату, равную высоте призмы, то есть 1:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $CB_1$.

Вектор $\vec{BA_1}$ находится как разность координат точки $A_1$ и точки $B$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор $\vec{CB_1}$ находится как разность координат точки $B_1$ и точки $C$:

$\vec{CB_1} = B_1 - C = (1/2 - (-1/2), \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1, 0, 1)$

Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{CB_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{CB_1} = (1/2)(1) + (-\sqrt{3}/2)(0) + (1)(1) = 1/2 + 0 + 1 = 3/2$

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$|\vec{CB_1}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{3/2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равен $3/4$.

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат (вершина $A$ расположена на оси $Ox$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с учетом высоты $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие данным прямым:

Вектор $\vec{BA_1}$ получается вычитанием координат точки $B$ из координат точки $A_1$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор $\vec{DC_1}$ получается вычитанием координат точки $D$ из координат точки $C_1$:

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DC_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1) \cdot (1)$

$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$|\vec{DC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между прямыми $BA_1$ и $DC_1$:

$\cos(\theta) = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ:

$\frac{1}{4}$

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Единицы измерения не указаны, поэтому будем использовать данные значения как безразмерные величины в соответствующей системе координат.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DB_1$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя прямыми воспользуемся векторным методом. Введем прямоугольную систему координат.

Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ лежит в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то сторона правильного шестиугольника в основании $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате:

• $A_1 = (1, 0, 1)$

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем векторы, соответствующие прямым $BA_1$ и $DB_1$:

Вектор $\vec{BA_1}$:

$ \vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1) $

Вектор $\vec{DB_1}$:

$ \vec{DB_1} = B_1 - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 1) $

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

$ \vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1} = (1/2) \cdot (3/2) + (-\sqrt{3}/2) \cdot (\sqrt{3}/2) + (1) \cdot (1) $

$ = 3/4 - 3/4 + 1 = 1 $

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$ |\vec{BA_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $

$ |\vec{DB_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 $

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{BA_1}$ и $\vec{DB_1}$ определяется по формуле:

$ \cos \theta = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{DB_1}}{|\vec{BA_1}| |\vec{DB_1}|} $

Подставим найденные значения:

$ \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ \cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{\sqrt{2}}{4} $

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $FC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер равна 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $FC_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

1.Введение системы координат:
Поместим центр $O$ нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра, например, $OO_1$, где $O_1$ - центр верхнего основания. Ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны 1, то длина стороны шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат и вершиной $A$ на оси $Ox$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются из координат нижнего основания добавлением высоты $h=1$ по оси $Oz$:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2.Нахождение векторов, лежащих на прямых $BA_1$ и $FC_1$:
Вектор $\vec{BA_1}$ имеет начальную точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и конечную точку $A_1(1, 0, 1)$.
$\vec{BA_1} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор $\vec{FC_1}$ имеет начальную точку $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и конечную точку $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$\vec{FC_1} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$

3.Вычисление длин векторов:
Длина вектора $\vec{BA_1}$:
$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Длина вектора $\vec{FC_1}$:
$|\vec{FC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$

4.Вычисление скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{FC_1}$:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{FC_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\sqrt{3}) + (1) \cdot (1)$
$= -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{4}{2} + 1 = -2 + 1 = -1$

5.Нахождение косинуса угла между прямыми:
Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле:
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
Подставляем найденные значения:
$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

Угол между прямыми обычно определяется как острый угол, поэтому мы берем абсолютное значение косинуса:
$\cos \theta = |\cos \alpha| = \left| \frac{-1}{\sqrt{10}} \right| = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$