Номер 19, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $DF$ и $CE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$ (единица длины).

Высота призмы $h = 1$ (единица длины).

Найти:

Косинус угла между прямыми DF и CE₁.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1. Зададим систему координат.

Разместим центр нижнего основания (шестиугольника ABCDEF) в начале координат $O(0, 0, 0)$. Ориентируем шестиугольник так, чтобы вершина A лежала на положительной полуоси OX. Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

• A: $(1, 0, 0)$

• B: $(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• C: $(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• D: $(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• E: $(1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• F: $(1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания. Нам нужны следующие точки:

• C: $(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• D: $(-1, 0, 0)$

• E₁: $(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

• F: $(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

2. Найдем векторы, направляющие прямые DF и CE₁.

Вектор $\vec{DF}$ можно найти как разность координат точки F и точки D:

$\vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{CE_1}$ можно найти как разность координат точки E₁ и точки C:

$\vec{CE_1} = E_1 - C = (-1/2 - (-1/2), -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

3. Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CE_1}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{u}=(x_u, y_u, z_u)$ и $\vec{v}=(x_v, y_v, z_v)$ равно $x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v$.

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = (3/2) \cdot 0 + (-\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1$

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = 0 + (\sqrt{3}/2) \cdot \sqrt{3} + 0$

$\vec{DF} \cdot \vec{CE_1} = 3/2$

4. Вычислим длины (модули) векторов $\vec{DF}$ и $\vec{CE_1}$.

Длина вектора $\vec{u}=(x_u, y_u, z_u)$ равна $\sqrt{x_u^2 + y_u^2 + z_u^2}$.

$|\vec{DF}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2}$

$|\vec{DF}| = \sqrt{9/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2}$

$|\vec{CE_1}| = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

5. Найдем косинус угла между прямыми.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Подставим найденные значения:

$\cos \theta = \frac{3/2}{\sqrt{3} \cdot 2}$

$\cos \theta = \frac{3/2}{2\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{3}{4\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\sqrt{3}}$

$\cos \theta = \frac{3\sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми DF и CE₁ равен $ \frac{\sqrt{3}}{4} $.