Номер 25, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $FC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер равна 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $FC_1$.

Решение:

Для решения задачи используем метод координат.

1.Введение системы координат:
Поместим центр $O$ нижнего основания $ABCDEF$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра, например, $OO_1$, где $O_1$ - центр верхнего основания. Ось $Ox$ направим через вершину $A$.

Так как призма правильная шестиугольная и все ее ребра равны 1, то длина стороны шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, центром в начале координат и вершиной $A$ на оси $Ox$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получаются из координат нижнего основания добавлением высоты $h=1$ по оси $Oz$:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2.Нахождение векторов, лежащих на прямых $BA_1$ и $FC_1$:
Вектор $\vec{BA_1}$ имеет начальную точку $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и конечную точку $A_1(1, 0, 1)$.
$\vec{BA_1} = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор $\vec{FC_1}$ имеет начальную точку $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и конечную точку $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
$\vec{FC_1} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1 - 0) = (-1, \sqrt{3}, 1)$

3.Вычисление длин векторов:
Длина вектора $\vec{BA_1}$:
$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Длина вектора $\vec{FC_1}$:
$|\vec{FC_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$

4.Вычисление скалярного произведения векторов:
Скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{FC_1}$:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{FC_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\sqrt{3}) + (1) \cdot (1)$
$= -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = -\frac{4}{2} + 1 = -2 + 1 = -1$

5.Нахождение косинуса угла между прямыми:
Косинус угла $\alpha$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ находится по формуле:
$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
Подставляем найденные значения:
$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{10}}$

Угол между прямыми обычно определяется как острый угол, поэтому мы берем абсолютное значение косинуса:
$\cos \theta = |\cos \alpha| = \left| \frac{-1}{\sqrt{10}} \right| = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\cos \theta = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$