Номер 23, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $BA_1$ и $DC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная и все её ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин нижнего основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат (вершина $A$ расположена на оси $Ox$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты соответствующих вершин верхнего основания (с учетом высоты $h=1$):

$A_1 = (1, 0, 1)$

$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Найдем векторы, соответствующие данным прямым:

Вектор $\vec{BA_1}$ получается вычитанием координат точки $B$ из координат точки $A_1$:

$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор $\vec{DC_1}$ получается вычитанием координат точки $D$ из координат точки $C_1$:

$\vec{DC_1} = C_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{BA_1}$ и $\vec{DC_1}$:

$\vec{BA_1} \cdot \vec{DC_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1) \cdot (1)$

$= \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{BA_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$|\vec{DC_1}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Теперь найдем косинус угла $\theta$ между прямыми $BA_1$ и $DC_1$:

$\cos(\theta) = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ:

$\frac{1}{4}$