Номер 17, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CD_1$.

18. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CD_1$.

Решение:

Обозначим длину ребра призмы как $a = 1$. Поскольку призма правильная и все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD_1$ воспользуемся методом координат.

Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, ось $Oy$ перпендикулярно $Ox$ в плоскости основания, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра (т.е. перпендикулярно плоскости основания) вверх.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат:

• $A = (a, 0, 0) = (1, 0, 0)$
• $B = (a \cos(\pi/3), a \sin(\pi/3), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (a \cos(2\pi/3), a \sin(2\pi/3), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (a \cos(\pi), a \sin(\pi), 0) = (-1, 0, 0)$

Координаты вершин верхнего основания получаются добавлением высоты $h=1$ к $z$-координате соответствующих вершин нижнего основания:

• $D_1 = (-1, 0, 1)$

Найдем координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

• Вектор $\vec{AB} = B - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Вектор $\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-1/2), 0 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Вычислим модули этих векторов:

• $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$.
• $|\vec{CD_1}| = \sqrt{(-1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется формулой:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD_1} = (-1/2)(-1/2) + (\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}/2) + (0)(1) = 1/4 - 3/4 + 0 = -2/4 = -1/2$.

Теперь найдем косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\cos \theta = \frac{-1/2}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{4}$.

По определению, угол между двумя прямыми (даже если они скрещивающиеся) обычно считается наименьшим неотрицательным углом, т.е. он лежит в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$. Если скалярное произведение векторов дает отрицательный результат, это означает, что угол между самими векторами тупой. Для нахождения косинуса угла между прямыми берется абсолютное значение полученного косинуса.

$\cos \phi = |\cos \theta| = \left| \frac{-\sqrt{2}}{4} \right| = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$