Номер 16, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Это означает, что сторона основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$, т.е. $\cos(\angle(DE, BF_1))$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла между двумя скрещивающимися прямыми, используем метод координат. Введем прямоугольную систему координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны 1, то радиус описанной окружности вокруг основания шестиугольника также равен 1. Вершины основания можно задать следующим образом:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь ту же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координата будет равна высоте призмы, т.е. 1.

$A_1 = (1, 0, 1)$

$B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

$D_1 = (-1, 0, 1)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

$F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $DE$ и $BF_1$.

Вектор $\vec{DE}$: координаты точки $E$ минус координаты точки $D$.

$\vec{DE} = E - D = (-1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вектор $\vec{BF_1}$: координаты точки $F_1$ минус координаты точки $B$.

$\vec{BF_1} = F_1 - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 1 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 1)$

Угол $\theta$ между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{DE}$ и $\vec{BF_1}$:

$\vec{DE} \cdot \vec{BF_1} = (1/2)(0) + (-\sqrt{3}/2)(-\sqrt{3}) + (0)(1) = 0 + (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})/2 + 0 = 3/2$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{DE}| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 0} = \sqrt{1} = 1$

(Это логично, так как $DE$ - это ребро шестиугольника, и его длина равна 1).

$|\vec{BF_1}| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \theta = \frac{3/2}{1 \cdot 2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$

Ответ:

Косинус угла между прямыми $DE$ и $BF_1$ равен $3/4$.