Номер 9, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной треугольной призме $ABC A_1 B_1 C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Все ребра которой равны 1. Таким образом, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не требуются, так как задача оперирует безразмерными отношениями длин.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CB_1$.

Решение:

Для того чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CB_1$, необходимо перенести одну из прямых так, чтобы она пересекалась со второй. Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$, так как $ABCA_1B_1C_1$ - призма, и $A_1B_1$ является ребром верхнего основания, а $AB$ - ребром нижнего основания. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $CB_1$ равен углу между прямыми $A_1B_1$ и $CB_1$. Эти две прямые пересекаются в точке $B_1$. Таким образом, искомый угол - это угол $\angle A_1B_1C$ в треугольнике $A_1B_1C$.

Найдем длины сторон треугольника $A_1B_1C$:

1. Длина ребра $A_1B_1$: Поскольку все ребра призмы равны 1, то $A_1B_1 = 1$.

2. Длина отрезка $B_1C$: Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника $BB_1C$ (так как $BB_1 \perp BC$, поскольку $BB_1$ - боковое ребро правильной призмы, перпендикулярное плоскости основания). По теореме Пифагора: $B_1C^2 = BB_1^2 + BC^2$ $B_1C^2 = 1^2 + 1^2$ $B_1C^2 = 1 + 1$ $B_1C^2 = 2$ $B_1C = \sqrt{2}$

3. Длина отрезка $A_1C$: Этот отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника $AA_1C$ (так как $AA_1 \perp AC$). По теореме Пифагора: $A_1C^2 = AA_1^2 + AC^2$ $A_1C^2 = 1^2 + 1^2$ $A_1C^2 = 1 + 1$ $A_1C^2 = 2$ $A_1C = \sqrt{2}$

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1C$ равны: $A_1B_1 = 1$ $B_1C = \sqrt{2}$ $A_1C = \sqrt{2}$

Для нахождения косинуса угла $\angle A_1B_1C$ в треугольнике $A_1B_1C$ воспользуемся теоремой косинусов: $A_1C^2 = A_1B_1^2 + B_1C^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot B_1C \cdot \cos(\angle A_1B_1C)$

Подставим известные значения: $(\sqrt{2})^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle A_1B_1C)$ $2 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C)$ $2 = 3 - 2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C)$

Выразим косинус угла: $2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C) = 3 - 2$ $2\sqrt{2} \cos(\angle A_1B_1C) = 1$ $\cos(\angle A_1B_1C) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $\cos(\angle A_1B_1C) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Поскольку полученное значение косинуса положительно, искомый угол является острым.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$