Номер 5, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.
Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Найти:

Косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$.

Решение:

Пусть длина ребра правильного тетраэдра равна $a$. В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками, и все ребра равны по длине. Угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Воспользуемся векторным методом. Пусть векторы, исходящие из вершины $A$, будут $\vec{AB} = \mathbf{b}$, $\vec{AC} = \mathbf{c}$, $\vec{AD} = \mathbf{d}$.

Длины этих векторов равны длине ребра тетраэдра: $|\mathbf{b}| = |\mathbf{c}| = |\mathbf{d}| = a$.

Скалярные произведения любых двух из этих векторов, исходящих из одной вершины, вычисляются по формуле $|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \alpha$, где $\alpha = 60^\circ$:
$\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{b}||\mathbf{c}|\cos 60^\circ = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.
Аналогично, $\mathbf{b} \cdot \mathbf{d} = \frac{a^2}{2}$ и $\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = \frac{a^2}{2}$.

Нам нужно найти косинус угла между прямыми $AB$ и $CE$. Это можно сделать, найдя косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CE}$. Угол между прямыми по определению является острым или прямым, поэтому его косинус всегда неотрицателен. Если результат скалярного произведения векторов даст отрицательное значение, мы возьмем его абсолютную величину.

Вектор, представляющий прямую $AB$, это $\vec{u} = \vec{AB} = \mathbf{b}$.

Выразим вектор $\vec{CE}$ через базисные векторы. Используем правило треугольника:
$\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC}$.
Так как точка $E$ — середина ребра $AD$, то вектор $\vec{AE}$ равен половине вектора $\vec{AD}$:
$\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\mathbf{d}$.
Следовательно, вектор $\vec{v} = \vec{CE} = \frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}$.

Теперь найдем скалярное произведение векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \mathbf{b} \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right) = \frac{1}{2}(\mathbf{b} \cdot \mathbf{d}) - (\mathbf{b} \cdot \mathbf{c})$.
Подставим ранее найденные значения скалярных произведений:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{2} = -\frac{a^2}{4}$.

Далее найдем длины векторов $|\vec{u}|$ и $|\vec{v}|$:
$|\vec{u}| = |\mathbf{b}| = a$.
Длину вектора $\vec{v}$ найдем, возведя его в квадрат (скалярное произведение вектора на самого себя):
$|\vec{v}|^2 = \left|\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right|^2 = \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\mathbf{d} - \mathbf{c}\right)$.
Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:
$|\vec{v}|^2 = \left(\frac{1}{2}\mathbf{d}\right)^2 - 2 \left(\frac{1}{2}\mathbf{d}\right) \cdot \mathbf{c} + \mathbf{c}^2$.
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}|\mathbf{d}|^2 - (\mathbf{d} \cdot \mathbf{c}) + |\mathbf{c}|^2$.
Подставим известные длины векторов и скалярное произведение:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{a^2}{2} + a^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$|\vec{v}|^2 = \frac{1}{4}a^2 - \frac{2}{4}a^2 + \frac{4}{4}a^2 = \frac{1 - 2 + 4}{4}a^2 = \frac{3}{4}a^2$.
Следовательно, длина вектора $\vec{v}$ равна:
$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ по формуле:
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$.
$\cos \theta = \frac{-a^2/4}{a \cdot (a\sqrt{3}/2)} = \frac{-a^2/4}{a^2\sqrt{3}/2}$.
Сократим $a^2$ и упростим дробь:
$\cos \theta = \frac{-1/4}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Так как искомый угол — это угол между прямыми, мы берем абсолютное значение косинуса:
$\cos \alpha = \left|-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{6}$