Номер 8, страница 150 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильном тетраэдре $ABCD$ точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите косинус угла $BEC$.

Дано:

Правильный тетраэдр $ABCD$.

Точка $E$ — середина ребра $AD$.

Для правильного тетраэдра все ребра равны между собой. Пусть длина ребра равна $a$.

Перевод в СИ: Поскольку задача носит геометрический характер и длина ребра $a$ является произвольной величиной, которая сократится в конечном выражении, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла $BEC$, то есть $\cos(\angle BEC)$.

Решение:

1. Определим длины сторон треугольника $BEC$.

Сторона $BC$ является ребром правильного тетраэдра, поэтому ее длина равна $a$.

2. Найдем длину стороны $BE$.

Рассмотрим грань $ABD$. Так как тетраэдр правильный, грань $ABD$ является равносторонним треугольником со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Следовательно, отрезок $BE$ является медианой, проведенной к стороне $AD$ в равностороннем треугольнике $ABD$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ выражается формулой $h = \frac{s\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, длина стороны $BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем длину стороны $CE$.

Аналогично, рассмотрим грань $ACD$. Это также равносторонний треугольник со стороной $a$. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Отрезок $CE$ является медианой (и высотой) равностороннего треугольника $ACD$, проведенной к стороне $AD$.

Таким образом, длина стороны $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Применим теорему косинусов для треугольника $BEC$.

Мы имеем длины сторон треугольника $BEC$: $BC = a$, $BE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $CE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Треугольник $BEC$ является равнобедренным с основанием $BC$ и боковыми сторонами $BE$ и $CE$.

По теореме косинусов для угла $BEC$ (который лежит напротив стороны $BC$):

$BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2 \cdot BE \cdot CE \cdot \cos(\angle BEC)$

Подставим найденные значения:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

Разделим все члены уравнения на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC)$

Выразим $\cos(\angle BEC)$:

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cdot \cos(\angle BEC) = \frac{1}{2}$

$\cos(\angle BEC) = \frac{1/2}{3/2}$

$\cos(\angle BEC) = \frac{1}{3}$

Ответ:

Косинус угла $BEC$ равен $1/3$.