Номер 12, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точка $E$ — середина ребра $SC$. Найдите косинус угла $ABE$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная. Все ребра равны 1: $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$. Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Перевод в СИ:

В данной задаче все линейные размеры представлены в относительных единицах, равных 1. Поэтому дополнительный перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра $a = 1$.

Найти:

$\cos(\angle ABE)$.

Решение:

Для нахождения косинуса угла $ABE$ воспользуемся методом координат. Расположим основание пирамиды $ABCD$ в плоскости $Oxy$ так, чтобы центр основания $O$ совпадал с началом координат $(0,0,0)$. Так как пирамида правильная четырехугольная и все ребра равны 1, то основание $ABCD$ - это квадрат со стороной $a=1$. Координаты вершин основания: $A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ $B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$ $C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ $D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$

Найдем высоту пирамиды $h$. Вершина $S$ находится над центром основания $O$. В прямоугольном треугольнике $SOA$ ($O$ - центр основания), $OA$ - это половина диагонали основания $AC$. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $OA = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Из теоремы Пифагора для $\triangle SOA$: $SO^2 = SA^2 - OA^2$. $h^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Координаты вершины $S$: $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Точка $E$ является серединой ребра $SC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат $S$ и $C$: $E = (\frac{S_x+C_x}{2}, \frac{S_y+C_y}{2}, \frac{S_z+C_z}{2})$ $E = (\frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{0+\frac{1}{2}}{2}, \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+0}{2}) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Теперь найдем векторы, образующие угол $ABE$: $\vec{BA}$ и $\vec{BE}$. Координаты точки $B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Координаты точки $A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$. Вектор $\vec{BA} = A - B = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), 0 - 0) = (-1, 0, 0)$. Длина вектора $|\vec{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.

Координаты точки $E = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$. Вектор $\vec{BE} = E - B = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{2}}{4} - 0)$ $\vec{BE} = (\frac{1-2}{4}, \frac{1+2}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}) = (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$. Длина вектора $|\vec{BE}| = \sqrt{(-\frac{1}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16} + \frac{2}{16}} = \sqrt{\frac{1+9+2}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус угла между двумя векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ определяется по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BE}$: $\vec{BA} \cdot \vec{BE} = (-1)(-\frac{1}{4}) + (0)(\frac{3}{4}) + (0)(\frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{1}{4} + 0 + 0 = \frac{1}{4}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: $\cos(\angle ABE) = \frac{\frac{1}{4}}{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}$. Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $\cos(\angle ABE) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{6}$