Номер 13, страница 151 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, точки $E, F$ — середины ребер соответственно $SC$ и $SD$.

Найдите косинус угла $BEF$.

Дано:

Пирамида $SABCD$ - правильная четырехугольная.

Все ребра пирамиды равны 1: $SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1$.

Точка $E$ - середина ребра $SC$.

Точка $F$ - середина ребра $SD$.

Все данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Косинус угла $BEF$.

Решение:

1. Найдем длины сторон треугольника $BEF$.

Сторона $EF$: Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $SC$ и $SD$ соответственно. Треугольник $SCD$ является одной из боковых граней пирамиды. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $SC = SD = CD = 1$. Следовательно, треугольник $SCD$ - равносторонний. $EF$ является средней линией треугольника $SCD$. По свойству средней линии, $EF = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Сторона $BE$: Рассмотрим треугольник $BSC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, то $BS = SC = BC = 1$. Следовательно, треугольник $BSC$ - равносторонний. $BE$ является медианой, проведенной к стороне $SC$ в равностороннем треугольнике $BSC$. Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $m = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, $BE = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сторона $BF$: Рассмотрим треугольник $BSD$. Стороны этого треугольника: $BS = 1$ (ребро пирамиды), $SD = 1$ (ребро пирамиды). Сторона $BD$ является диагональю основания $ABCD$. Основание $ABCD$ - квадрат со стороной 1. Длина диагонали квадрата $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Теперь у нас есть треугольник $BSD$ со сторонами $BS=1$, $SD=1$, $BD=\sqrt{2}$. Проверим тип треугольника $BSD$: $BS^2 + SD^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. $BD^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $BS^2 + SD^2 = BD^2$, по обратной теореме Пифагора, треугольник $BSD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle BSD = 90^\circ$).

$BF$ является медианой, проведенной к стороне $SD$ в треугольнике $BSD$. Для нахождения длины $BF$ воспользуемся теоремой косинусов в $\triangle BSD$, зная, что $F$ - середина $SD$: $SF = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

$BF^2 = BS^2 + SF^2 - 2 \cdot BS \cdot SF \cdot \cos(\angle BSF)$.

Так как $\angle BSF = \angle BSD = 90^\circ$, то $\cos(\angle BSF) = \cos(90^\circ) = 0$.

$BF^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 0 = 1 + \frac{1}{4} - 0 = \frac{5}{4}$.

Таким образом, $BF = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

2. Теперь, когда известны все три стороны треугольника $BEF$, найдем косинус угла $BEF$ с помощью теоремы косинусов:

$\cos(\angle BEF) = \frac{BE^2 + EF^2 - BF^2}{2 \cdot BE \cdot EF}$

Подставим найденные значения:

$BE^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$EF^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

$BF^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{5}{4}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{\frac{4}{4} - \frac{5}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\cos(\angle BEF) = -\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ:

$-\frac{\sqrt{3}}{6}$